Tangens- czworościan foremny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
miszczprostej
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 13 sty 2010, 23:10

Tangens- czworościan foremny

Post autor: miszczprostej » 21 mar 2010, 10:14

Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 21 mar 2010, 10:30

Kąt nachylenia ściany bocznej czworościanu foremnego do płaszczyzny podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej (wysokość trójkąta równobocznego o boku a, równa jest \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)) do promienia okręgu wpisanego w podstawę (promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a jest równy jednej trzeciej wysokości trójkąta, ma więc długość \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Tangens tego kąta to stosunek wysokości czworościanu do wysokości ściany bocznej.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam wysokość czworościanu:

\(H^2+r^2=h^2\\H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2\\H^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{36}\\H^2=\frac{2a^2}{3}\\H=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(tg\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)