Tangens- czworościan foremny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 13 sty 2010, 22:10
Tangens- czworościan foremny
Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym.
Kąt nachylenia ściany bocznej czworościanu foremnego do płaszczyzny podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej (wysokość trójkąta równobocznego o boku a, równa jest \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)) do promienia okręgu wpisanego w podstawę (promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a jest równy jednej trzeciej wysokości trójkąta, ma więc długość \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Tangens tego kąta to stosunek wysokości czworościanu do wysokości ściany bocznej.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam wysokość czworościanu:
\(H^2+r^2=h^2\\H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2\\H^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{36}\\H^2=\frac{2a^2}{3}\\H=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(tg\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam wysokość czworościanu:
\(H^2+r^2=h^2\\H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2\\H^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{36}\\H^2=\frac{2a^2}{3}\\H=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(tg\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)