zadanie1
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna "d" o długości \(8\sqrt{2}\) tworzy z blokiem odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze 60stopni. Oblicz objętość walca.
zadanie 2
Walec do równania nawierzchni szosy ma średnicę 2m i długość 2,5m. Oblicz, ile metrów kwadratowych szosy wyrówna ten walec, gdy przesuwając się w jednym kierunku wykona 20 pełnych obrotów. Do obliczeń przyjmij \(\pi\)=3,14.
zadanie 3
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości \(\sqrt{3}\). Oblicz:
a)objętość stożka
b)pole powierzchni całkowitej stożka
zadanie 4
Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta prostokątnego ABC wokół najdłuższego boku, wiedząc że wierzchołek B leży w początku układu współrzędnych oraz A=(3;1) i C=(2;2).
Z góry dziękuje za pomoc
kula, stożek, walec
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Jednym z boków tego prostokąta to wysokość walca, a drugi to obwód podstawy walca.
h- wysokość walca, r- promień podstawy walca
\(\frac{H}{d}=cos60^o\\\frac{H}{8\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\\H=4\sqrt{2}\)
\(\frac{2\pi\ r}{d}=sin60^o\\\frac{2\pi\ r}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\pi\ r=2\sqrt{6}\\r=\frac{2\sqrt{6}}{\pi}\)
Objętość:
\(V=\pi\ r^2H\\V=\pi\cdot(\frac{2\sqrt{6}}{\pi})^2\cdot4\sqrt{2}=\pi\cdot\frac{24}{\pi^2}\cdot4\sqrt{2}=\frac{96\sqrt{2}}{\pi}\)
Jednym z boków tego prostokąta to wysokość walca, a drugi to obwód podstawy walca.
h- wysokość walca, r- promień podstawy walca
\(\frac{H}{d}=cos60^o\\\frac{H}{8\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\\H=4\sqrt{2}\)
\(\frac{2\pi\ r}{d}=sin60^o\\\frac{2\pi\ r}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\pi\ r=2\sqrt{6}\\r=\frac{2\sqrt{6}}{\pi}\)
Objętość:
\(V=\pi\ r^2H\\V=\pi\cdot(\frac{2\sqrt{6}}{\pi})^2\cdot4\sqrt{2}=\pi\cdot\frac{24}{\pi^2}\cdot4\sqrt{2}=\frac{96\sqrt{2}}{\pi}\)
3.
l- tworząca stożka
r- promień podstawy stożka
H- wysokość
\(l=\sqrt{3}\\2r=\sqrt{3}\\r=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{H}{l}=sin60^o\\\frac{H}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\H=\frac{3}{2}\)
a)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2H\\V=\frac{1}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\cdot\frac{3}{2}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\pi\)
b)
Pole powierzchni:
\(P_c=\pi\ r^2+\pi\ rl\\P_c=\pi\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{4}\pi+\frac{3}{2}\pi=\frac{9}{4}\pi\)
l- tworząca stożka
r- promień podstawy stożka
H- wysokość
\(l=\sqrt{3}\\2r=\sqrt{3}\\r=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{H}{l}=sin60^o\\\frac{H}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\H=\frac{3}{2}\)
a)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2H\\V=\frac{1}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\cdot\frac{3}{2}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\pi\)
b)
Pole powierzchni:
\(P_c=\pi\ r^2+\pi\ rl\\P_c=\pi\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{4}\pi+\frac{3}{2}\pi=\frac{9}{4}\pi\)
Zad.1
\(cos60^o = \frac{H}{d}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{H}{8\sqrt{2}} \Rightarrow H=4\sqrt{2}\)
2 bok prostokata to obód podstawy \(Ob=2\pi r\)
\(sin60^o = \frac{Ob}{d}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{Ob}{8\sqrt{2}} \Rightarrow Ob = 4\sqrt{6}\)
\(Ob=2\pi r = 4\sqrt{6} \Rightarrow r=\frac{2\sqrt{6}}{\pi}\)
\(V=P_{p} \cdot H = \pi r^2 \cdot H = \pi \cdot \left( \frac{2\sqrt{6}}{\pi}\right)^2 \cdot 4\sqrt{2} = \frac{96\sqrt{2}}{\pi}\)
Zad.2
r=1, H=2,5
\(20\cdot P_{b} = 20\cdot 2\pi r \cdot H = 20\cdot 2\pi \cdot 1 \cdot 2,5 = 5\pi = 20\cdot 5\cdot 3,14 = 314 \ m^2\)
Zad.3
\(l=2r=\sqrt{3}\)
\(r=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(H=\frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\)
\(V=\frac{1}{3}P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot H = \fravc{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}\pi\)
\(P_{pc} = \pi r^2 + \pi r \cdot l = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \sqrt{3} = \frac{9}{4}\pi\)
\(cos60^o = \frac{H}{d}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{H}{8\sqrt{2}} \Rightarrow H=4\sqrt{2}\)
2 bok prostokata to obód podstawy \(Ob=2\pi r\)
\(sin60^o = \frac{Ob}{d}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{Ob}{8\sqrt{2}} \Rightarrow Ob = 4\sqrt{6}\)
\(Ob=2\pi r = 4\sqrt{6} \Rightarrow r=\frac{2\sqrt{6}}{\pi}\)
\(V=P_{p} \cdot H = \pi r^2 \cdot H = \pi \cdot \left( \frac{2\sqrt{6}}{\pi}\right)^2 \cdot 4\sqrt{2} = \frac{96\sqrt{2}}{\pi}\)
Zad.2
r=1, H=2,5
\(20\cdot P_{b} = 20\cdot 2\pi r \cdot H = 20\cdot 2\pi \cdot 1 \cdot 2,5 = 5\pi = 20\cdot 5\cdot 3,14 = 314 \ m^2\)
Zad.3
\(l=2r=\sqrt{3}\)
\(r=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(H=\frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\)
\(V=\frac{1}{3}P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot H = \fravc{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}\pi\)
\(P_{pc} = \pi r^2 + \pi r \cdot l = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \sqrt{3} = \frac{9}{4}\pi\)
4.
Trzeba sprawdzić, który bok jest najdłuższy (który jest przeciwprostokątną).
\(|AB|=\sqrt{(0-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}\\|BC|=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\|AC|=\sqrt{(2-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}\)
\(|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2\), czyli przeciwprostokątną jest AB.
Obliczam wysokość CD opuszczoną na przeciwprostokątną AB:
\(P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BC|=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CD|\\\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot|CD|\\|CD|=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}\)
W wyniku obrotu otrzymamy 2 stożki złączone podstawami. Promień podstawy tych stożków to CD. Suma wysokości tych stożków jest równa |AB|.
Objętość bryły jest równa sumie objętości tych dwóch stożków.
\(V=V_1+V_2\\V=\pi\cdot|CD|^2\cdot|AD|+\pi\cdot|CD|^2\cdot|DB|=\pi\cdot|CD|^2(|AD|+|DB|)=\pi\cdot|CD|^2\cdot|AB|\\V=\pi\cdot(\frac{2\sqrt{10}}{5})^2\cdot\sqrt{10}=\pi\cdot\frac{4\cdot10}{25}\cdot\sqrt{10}=\frac{8\sqrt{10}}{5}\pi\)
Trzeba sprawdzić, który bok jest najdłuższy (który jest przeciwprostokątną).
\(|AB|=\sqrt{(0-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}\\|BC|=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\|AC|=\sqrt{(2-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}\)
\(|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2\), czyli przeciwprostokątną jest AB.
Obliczam wysokość CD opuszczoną na przeciwprostokątną AB:
\(P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BC|=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CD|\\\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot|CD|\\|CD|=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}\)
W wyniku obrotu otrzymamy 2 stożki złączone podstawami. Promień podstawy tych stożków to CD. Suma wysokości tych stożków jest równa |AB|.
Objętość bryły jest równa sumie objętości tych dwóch stożków.
\(V=V_1+V_2\\V=\pi\cdot|CD|^2\cdot|AD|+\pi\cdot|CD|^2\cdot|DB|=\pi\cdot|CD|^2(|AD|+|DB|)=\pi\cdot|CD|^2\cdot|AB|\\V=\pi\cdot(\frac{2\sqrt{10}}{5})^2\cdot\sqrt{10}=\pi\cdot\frac{4\cdot10}{25}\cdot\sqrt{10}=\frac{8\sqrt{10}}{5}\pi\)