Maksymalna objętość ostrosłupa

[Pawelg13]

Witam, czy ma ktoś pomysł jak zrobić to zadanie?
Niestety moje myślenie sprowadza się cały czas do odpowiedzi, że x = 0, więc coś robię ni tak.

Ostrosłupy, których podstawą są prostokąty o stosunku długości boków 1:2, umieszczamy w kuli o
promieniu √3 w taki sposób, że wierzchołek każdego ostrosłupa jest środkiem kuli, a
wszystkie wierzchołki podstawy należą do powierzchni kuli. Jaką maksymalną objętość może mieć
tak umieszczony w kuli ostrosłup?

[korki_fizyka]

Ciekawi mnie jak do tego x = 0 doszedłeś

[Pawelg13]

Oznaczyłem boki podstawy jako: x i 2x, krawędź boczna = √3 (promień), więc z trójkąta prostokątnego obliczyłem wysokość: √5x/2 i objętość mi wyszła: 1/3*√3 x^3, pochodna wychodzi wtedy √3 x^2, więc przyrównując do 0, wychodzi 0.
I nie wiem gdzie zrobiłem błąd.

[korki_fizyka]

Wysokość nie jest stała tylko zależna od boku podstawy czyli twojego "x" \(\So h = \sqrt{r^2 - \frac{x^2}{4} }\)
to wstawić do wzoru na objętość ostrosłupa V(x) i znaleźć ekstremum (maksimum) tej funkcji: pochodna, miejsce zerowe itd.

[Pawelg13]

A mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć skąd ten kwadrat połowy x? Bo nie widzę tego.

[korki_fizyka]

Wysokość w ostrosłupie prawidłowym dzieli bok na pół prawda ?

[Pawelg13]

Ale to chyba wysokość w ścianie bocznej? Czemu mam ją podstawić do wzoru na objętość?

[korki_fizyka]

Narysuj sobie krzyżyk w podstawie będący środkowymi boków prostokąta, wysokość trafia w jego środek.

[Pawelg13]

To wysokość ściany bocznej jest promieniem kuli? A nie krawędź boczna

[korki_fizyka]

Masz rację więc zamiast połowy boku musisz podstawić połowę przekątnej w prostokącie.

[korki_fizyka]

\(h = \sqrt{r^2 - \frac{5}{4}x^2 }\)
\(V(x) = \frac{x^2}{3} \sqrt{12 - 5x^2}\) , dla \(x \in (0 ; 2 \sqrt{3} )\)
\(V'(x) = 0 \So x = \frac{2 \sqrt{10} }{5} \approx 1,26\)

[panb]

Wszystko się zgadza ... oprócz dziedziny: \(x\in \left[0, \frac{2\sqrt{15}}{5} \right]\)

[korki_fizyka]

Ze względów praktycznych dałem szerszą dziedzinę bok podstawy nie może być większy od średnicy kuli ale uwzględniając własności funkcji pierwiastkowej \(12 - 5x^2 \ge 0\) rzeczywiście dziedzina się zawęża. Ciekawe czy autor postu jest ukontentowany ?

[panb]

Tego się nigdy nie dowiemy.