Ostroslupy

[decha21]

1. W ostroslupie prawidlowym czworokątnym pole powierzchni bocznej jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Oblicz
a) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
b) sinus kata alfa jaki tworzą krawędzie boczne tego ostrosłupa niezawierające się w ścianie.

2.Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 6 i 8. Punkt przecięcia się tych przekątnych jest spodkiem wysokości ostrosłupa. Wiedząc, że jedna z krawedzn bocznych tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem45°, oblicz
a) długość wysokości h ostrosłupa,
b) sinusy katów nachylenia pozostalych krawędzi bocznych do plaszczyzny podstawy
C) tangensy katów nachylenia ścian bocznych tego ostrostupa do płaszczyzny podstawy

3.W ostroslupie prawidłowym czworokatnym wszystkie krawędzie są równej dlugosci Oblicz:
a) stosunek dlugości wysokości ostrostupa do dlugości krawędzi jego podstawy
b) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
c) miarę kąta zawartego między ścianami bocznymi tego ostrosłupa. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

[eresh]

1. W ostroslupie prawidlowym czworokątnym pole powierzchni bocznej jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Oblicz
a) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
b) sinus kata alfa jaki tworzą krawędzie boczne tego ostrosłupa niezawierające się w ścianie.

\(P_b=4P_p\\
4\cdot \frac{1}{2}ah_b=4a^2\\
\frac{1}{2}h_b=a\\
h_b=2a\)

a)
\(\cos\alpha = \frac{0,5a}{h_b}\\
\cos\alpha=\frac{0,5a}{2a}\\
\cos\alpha=\frac{1}{4}\\
\alpha\approx 75,5^{\circ}\)

b)
b - krawędź boczna
\(h_b^2+(0,5a)^2=b^2\\
4a^2+0,25a^2=b^2\\
b=\frac{\sqrt{17}a}{2}\)

\((a\sqrt{2})^2=(\frac{\sqrt{17}a}{2})^2+(\frac{\sqrt{17}a}{2})^2-2\cdot \frac{\sqrt{17}a}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}a}{2}\cdot \cos\beta\\
2a^2=\frac{17}{2}a^2-\frac{17}{2}a^2\cos\beta\\
\frac{17}{2}\cos\beta=\frac{13}{2}\\
\cos\beta = \frac{13}{17}\\
\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{13^2}{17^2}}\\
\sin\alpha = \frac{2\sqrt{30}}{17}\)

[eresh]

3.W ostroslupie prawidłowym czworokatnym wszystkie krawędzie są równej dlugosci Oblicz:
a) stosunek dlugości wysokości ostrostupa do dlugości krawędzi jego podstawy
b) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
c) miarę kąta zawartego między ścianami bocznymi tego ostrosłupa. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

a)
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=a^2\\
H^2+\frac{a^2}{2}=a^2\\
H=\frac{\sqrt{2}a}{2}\\
\frac{H}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

b)
\(\cos\alpha = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}\\
\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\alpha = 45^{\circ}\)