ostrosłup

[enta]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość "a", a krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznacz promień kuli
a)opisanej na tym ostrosłupie
b) wpisanej w ten ostrosłup

czy są na to jakieś wzory nie umiem sobie tego wyobrazić

[korki_fizyka]

Pewnie są ale można to sobie policzyć, zacznij od rysunku.

[enta]

Z rysunku nic nie widzę

[Galen]

Promień kuli opisanej jest to promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ACS.Ten trójkąt jest przekrojem przekątnym ostrosłupa.AC to przekątna podstawy.CS=AS to są krawędzie boczne.
\(|AC|=a \sqrt{2}\\|CS|=|AS|=2a\)
Oblicz wysokość H (ostrosłupa) trójkąta,a potem obliczysz promień R okręgu opisanego na tym trójkącie.
\(H^2+( \frac{a \sqrt{2} }{2})^2=(2a)^2\\H^2=4a^2- \frac{1}{2}a^2=3,5a^2\\H=a \sqrt{3,5}\\P_{ \Delta \;ACS}= \frac{2a \cdot 2a \cdot a \sqrt{2} }{4R}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;P_{\Delta ACS}= \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{3,5}\)
Powstaje równanie ,z którego policzysz promień R kuli opisanej na ostrosłupie.
\(R= \frac{2a \sqrt{2} }{ \sqrt{7} }\)

[Galen]

Promień r kuli wpisanej obliczysz jako promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny utworzony przez wysokości h przeciwległych ścian ostrosłupa i odcinek łączący środki przeciwległych krawędzi podstawy (jego długość to a).
Najpierw liczysz h
\(h^2+( \frac{a}{2})^2=(2a)^2\\h= \frac{a \sqrt{15} }{2}\)
Masz więc trójkąt równoramienny o ramionach h i podstawie a.
Liczysz pole z wzoru \(P= \frac{1}{2}a \cdot H\) i z wzoru \(P= \frac{a+h+h}{2} \cdot r\)
\(H=a \sqrt{3,5}= \frac{a \sqrt{7} }{ \sqrt{2} }= \frac{a \sqrt{14} }{ 2 }\)
To już policzona wysokość ostrosłupa w części a) zadania.
\(\frac{1}{2}a \cdot H= \frac{1}{2}(a+h+h) \cdot r\\r= \frac{a \cdot H}{a+2h}\)
Dalej już tylko podstaw i licz...