1)
wyznacz stosunek objetosci szescianu o krawedzi dlugosci 4 cm do objetosci kuli opisanej na tym szescianie.
2)
wyznacz objetosc i pole powierzchni calkowitej czworonoscianu foremnego ktroego wysokosc wynosi 4pierwiastki z 3 cm.
Sześcian i czworościan
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Oznaczyłam a - długość krawędzi sześcianu, r -promień kuli.
Średnica kuli jest równa przekątnej sześcianu. Przekątna sześcianu (p) z krawędzią sześcianu i przekątną podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Przekątna podstawy sześcianu (kwadratu o boku a) ma długość a\sqrt{2}. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+(a\sqrt{2})^2=p^2\\p^2=3a^2\\p=a\sqrt{3}\)
\(a\sqrt{3}=2r\\r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Objętość sześcianu;
\(V_s=a^3\)
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\cdot\ r^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3\cdot3\sqrt{3}}{8}\\V_k=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{V_s}{V_k}=a^3:(\frac{a^3\sqrt{3}}{2})\\\frac{V_s}{V_k}=a^3\cdot\frac{2}{a^3\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Oznaczyłam a - długość krawędzi sześcianu, r -promień kuli.
Średnica kuli jest równa przekątnej sześcianu. Przekątna sześcianu (p) z krawędzią sześcianu i przekątną podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Przekątna podstawy sześcianu (kwadratu o boku a) ma długość a\sqrt{2}. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+(a\sqrt{2})^2=p^2\\p^2=3a^2\\p=a\sqrt{3}\)
\(a\sqrt{3}=2r\\r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Objętość sześcianu;
\(V_s=a^3\)
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\cdot\ r^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3\cdot3\sqrt{3}}{8}\\V_k=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{V_s}{V_k}=a^3:(\frac{a^3\sqrt{3}}{2})\\\frac{V_s}{V_k}=a^3\cdot\frac{2}{a^3\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
2.
a- krawędź czworościanu
H- wysokość czworościanu
R- promień okręgu opisanego na ścianie czworościanu
\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\H^2+R^2=a^2\\H^2+\frac{a^2}{3}=a^2\\\frac{2}{3}a^2=H^2\\a^2=\frac{3}{2}\cdot(4\sqrt{3})^2\\a^2=72\)
Pole powierzchni to pole czterech trójkątów równobocznych o boku a:
\(P=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}\\P=72\sqrt{3}\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\frac{72\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=72\)
a- krawędź czworościanu
H- wysokość czworościanu
R- promień okręgu opisanego na ścianie czworościanu
\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\H^2+R^2=a^2\\H^2+\frac{a^2}{3}=a^2\\\frac{2}{3}a^2=H^2\\a^2=\frac{3}{2}\cdot(4\sqrt{3})^2\\a^2=72\)
Pole powierzchni to pole czterech trójkątów równobocznych o boku a:
\(P=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}\\P=72\sqrt{3}\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\frac{72\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=72\)