Sześcian i czworościan

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ala1234
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 98
Rejestracja: 10 mar 2010, 15:50

Sześcian i czworościan

Post autor: ala1234 » 16 mar 2010, 11:08

1)
wyznacz stosunek objetosci szescianu o krawedzi dlugosci 4 cm do objetosci kuli opisanej na tym szescianie.



2)
wyznacz objetosc i pole powierzchni calkowitej czworonoscianu foremnego ktroego wysokosc wynosi 4pierwiastki z 3 cm.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 16 mar 2010, 11:15

1.
Oznaczyłam a - długość krawędzi sześcianu, r -promień kuli.

Średnica kuli jest równa przekątnej sześcianu. Przekątna sześcianu (p) z krawędzią sześcianu i przekątną podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Przekątna podstawy sześcianu (kwadratu o boku a) ma długość a\sqrt{2}. Z twierdzenia Pitagorasa:

\(a^2+(a\sqrt{2})^2=p^2\\p^2=3a^2\\p=a\sqrt{3}\)

\(a\sqrt{3}=2r\\r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Objętość sześcianu;

\(V_s=a^3\)

Objętość kuli:

\(V_k=\frac{4}{3}\cdot\ r^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3\\V_k=\frac{4}{3}\cdot\frac{a^3\cdot3\sqrt{3}}{8}\\V_k=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{V_s}{V_k}=a^3:(\frac{a^3\sqrt{3}}{2})\\\frac{V_s}{V_k}=a^3\cdot\frac{2}{a^3\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\frac{V_s}{V_k}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 16 mar 2010, 11:23

2.
a- krawędź czworościanu
H- wysokość czworościanu
R- promień okręgu opisanego na ścianie czworościanu
\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\H^2+R^2=a^2\\H^2+\frac{a^2}{3}=a^2\\\frac{2}{3}a^2=H^2\\a^2=\frac{3}{2}\cdot(4\sqrt{3})^2\\a^2=72\)

Pole powierzchni to pole czterech trójkątów równobocznych o boku a:
\(P=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}\\P=72\sqrt{3}\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\frac{72\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=72\)

ala1234
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 98
Rejestracja: 10 mar 2010, 15:50

Post autor: ala1234 » 16 mar 2010, 11:28

dziekuje bardzo