wyznacz krawedz podstawy ostrosłupa

[weronika2]

Wyznacz krawedz podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o objętości \(2 \sqrt{26}\), wiedząc że krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.

[weronika2]

odpowiedź: \(2 \sqrt[3]{3}\)

[anka]

\(h_p= \frac{a \sqrt{3} }{2}\)

Wyznaczam \(H\)
\(H^2=(3a)^2-( \frac{2}{3} h_p)^2\)

\(H^2=9a^2-( \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2\)
\(H^2=9a^2-\frac{a^2 }{3}\)
\(H^2= \frac{26a^2}{3}\)
\(H= \frac{a \sqrt{78} }{3}\)

Wyznaczam objetość
\(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{a \sqrt{78} }{3}\)
\(V= \frac{a^3 \sqrt{26} }{12}\)

Obliczam \(a\)
\(\frac{a^3 \sqrt{26} }{12}=2 \sqrt{26}\)
\(a=2 \sqrt[3]{3}\)