sklejanie brył

[inter]

Czworościan foremny o krawędzi długości a i ostrosłup prawidłowy o podstawie kwadratowej, którego wszystkie krawędzie maja długość a sklejamy że sobą ścianą trójkątna. Udowodnij że otrzymany w ten sposób wielościan ma 5 ścian.

[kerajs]

Dowód przez siatkę:
\(\begin{tikzpicture}
\draw (0,1)--(2,1)--(2,-1)--(0,-1)--(0,1)--(-1,2.73)--(1,2.73)--(2,1)--(3.73,0)--(2,-1)--(1,-2.73)--(-1,-2.73)--(0,-1)--(-1.73,0)--(0,1);
\draw [blue][dashed](0,1)--(1,2.73);
\draw [blue][dashed](0,-1)--(1,-2.73);
\end{tikzpicture}\)

Inaczej.
Należy wykazać że kąt miedzy ścianami w tetraedrze (alfa) wraz z kątem między trójkątnymi ścianami w ostrosłupie (beta) daje kąt półpełny.
\(a^2=( \frac{a \sqrt{3} }{2} )^2+( \frac{a \sqrt{3} }{2} )^2-2\frac{a \sqrt{3} }{2}\frac{a \sqrt{3} }{2}\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{3} \\
(a \sqrt{2})^2=( \frac{a \sqrt{3} }{2} )^2+( \frac{a \sqrt{3} }{2} )^2-2\frac{a \sqrt{3} }{2}\frac{a \sqrt{3} }{2}\cos \beta \Rightarrow \cos \beta = \frac{-1}{3} \\
\cos\left( \pi - \alpha \right)=-\cos \alpha = \frac{-1}{3} =\cos \beta \Rightarrow \alpha + \beta = \pi\)

[radagast]

Albo umieścić w układzie współrzędnych i policzyć:

ScreenHunter_370.jpg (26.59 KiB) Przejrzano 1517 razy

Równanie płaszczyzny ABE: \(\sqrt{2} y +z-a \sqrt{2}=0\) (nie jest trudne do wyznaczenia)
Sprawdźmy, czy punkt F do niej należy: \(\sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} + \frac{a \sqrt{2} }{2} -a \sqrt{2}=0\)
Należy .
Analogicznie : punkt F należy do płaszczyzny DCE.
Zatem nasz wielościan składa się z pięciu ścian: ABFE,DCFE,ABCD,BCF,ADE