Kąty w ostrosłupie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
VirtualUser
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 113
Rejestracja: 17 sie 2017, 20:34
Podziękowania: 34 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Kąty w ostrosłupie

Post autor: VirtualUser » 28 mar 2018, 16:22

Mam problem z zadaniem:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt przy podstawie ściany bocznej jest równy \(\alpha\)
a) oblicz \(cos( \beta_{1})\) oraz \(cos( \beta_{2})\)
\(\beta_{1}\) kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
\(\beta_{2}\) kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa
i to sobie policzyłem i wychodzi tak jak w odp:
\(cos( \beta_{1}) = \frac{ \sqrt{3} }{3tg( \alpha )}\)
\(cos( \beta_{2}) = \frac{sin(2 \alpha )}{2sin^2( \alpha )}\)
ale problem jest z b...
podaj w jakim zakresie mogą zmieniać się kąty \(\alpha\) \(\beta_1\) \(\beta_2\)
odp to:
\(\alpha \in (30^o;60^o)\)
\(\beta_1 \in (0^o;90^o)\)
\(\beta_2 \in (60^o;120^o)\)

VirtualUser
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 113
Rejestracja: 17 sie 2017, 20:34
Podziękowania: 34 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: VirtualUser » 29 mar 2018, 21:09

Podobno podane odpowiedzi przez autorów nie są poprawne...

VirtualUser
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 113
Rejestracja: 17 sie 2017, 20:34
Podziękowania: 34 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: VirtualUser » 31 mar 2018, 17:55

up .

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1513
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 631 razy
Płeć:

Re: Kąty w ostrosłupie

Post autor: kerajs » 01 kwie 2018, 13:50

VirtualUser pisze: i to sobie policzyłem i wychodzi tak jak w odp:
\(cos( \beta_{1}) = \frac{ \sqrt{3} }{3tg( \alpha )}\)
\(cos( \beta_{2}) = \frac{sin(2 \alpha )}{2sin^2( \alpha )}\)
ale problem jest z b...
podaj w jakim zakresie mogą zmieniać się kąty \(\alpha\) \(\beta_1\) \(\beta_2\)
odp to:
\(\alpha \in (30^o;60^o)\)
\(\beta_1 \in (0^o;90^o)\)
\(\beta_2 \in (60^o;120^o)\)
Mi wychodzi:
\(\cos( \beta_{1}) = \frac{ \sqrt{3} }{3\tg( \alpha )}\)
\(\cos( \beta_{2}) = \frac{-\cos(2 \alpha )}{2\sin^2( \alpha )}=1- \frac{1}{2\sin^2 \alpha }\)
b)
\(\alpha \in (30^o;90^o)\)
\(\beta_1 \in (0^o;90^o)\)
\(\beta_2 \in (60^o;180^o)\)

VirtualUser
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 113
Rejestracja: 17 sie 2017, 20:34
Podziękowania: 34 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Kąty w ostrosłupie

Post autor: VirtualUser » 01 kwie 2018, 23:32

możesz pokazać jak rozwiązywałeś podpunkt b?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1513
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 631 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 02 kwie 2018, 12:45

\(\alpha\):
Sytuacje skrajne:
a) gdy wysokość ostrosłupa dąży do zera to ściany boczne pokrywają podstawę. Każda z nich jest trójkątem równoramiennym o kątach 30,30,120 stopni.
b) gdy wysokość dąży do nieskończoności to ostrosłup zaczyna przypominać prostopadłościan o podstawie trójkątnej. Każda ze ścian bocznych jest trójkątem równoramiennym o kątach bliskich 90,90,0 stopni.

\(\beta _1\):
z powodów jak wyżej masz (zwykłą strzałkę czytaj jako ,,dąży do'') :
a)
\(\beta _1 \to 0^{\circ}\)
b)
\(\beta _1 \to 90^{\circ}\)

albo wychodząc z zależności:
\(\cos \beta _1= \frac{ \sqrt{3} }{3} \ctg \alpha\)
Wtedy :
\(\alpha \to 30^{\circ} \So \cos \beta _1 \to \frac{ \sqrt{3} }{3} \cdot \sqrt{3} \So \cos \beta _1 \to 1 \So \beta _1 \to 0^{\circ} \\
\alpha \to 90^{\circ} \So \cos \beta _1 \to \frac{ \sqrt{3} }{3} \cdot 0 \So \cos \beta _1 \to 0 \So \beta _1 \to 90^{\circ}\)


Analogicznie:
\(\beta _2\):
a)
\(\beta _2 \to 180^{\circ}\)
b)
\(\beta _2 \to 60^{\circ}\)

albo wychodząc z zależności:
\(\cos \beta _2=1- \frac{ 1}{2\sin^2 \alpha }\)
Wtedy:
\(\alpha \to 30^{\circ} \So \cos \beta _2 \to (1- \frac{1}{2( \frac{1}{2} )^2}) \So \cos \beta _2 \to -1 \So \beta _2 \to 180^{\circ} \\
\alpha \to 90^{\circ} \So \cos \beta _2 \to (1- \frac{1}{2( 1 )^2}) \So \cos \beta _2 \to \frac{1}{2} \So \beta _2 \to 60^{\circ} \\\)