2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Enio
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 21 lut 2018, 20:09
Podziękowania: 1 raz

2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: Enio » 20 mar 2018, 00:18

1.
Rozpatrzmy graniastosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 9. a) Jaką największą objętość może mieć dany graniastosłup ?
b) Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa o największej objętości i środek przeciwległej krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

2.
Dany jest stożek, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła o promieniu r i kącie środkowym 72(stopnie). Rozpatrzmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne wpisane w ten stożek : ich dolna podstawa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej należą do powierzchni bocznej stożka. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, którego objętość jest największa.

radagast
Guru
Guru
Posty: 17037
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7191 razy
Płeć:

Re: 2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: radagast » 20 mar 2018, 13:13

Enio pisze:1.
Rozpatrzmy graniastosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 9. a) Jaką największą objętość może mieć dany graniastosłup ?
b) Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa o największej objętości i środek przeciwległej krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
a)
ScreenHunter_266.jpg
\(a \in \left(0, \frac{3}{2} \right),b \in \left( 0,3\right)\)
\(V(a,b)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}b\)
\(6a+3b=9 \So b=3-2a\)
\(V(a)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \left( 3-2a\right)= -\frac{ \sqrt{3} }{2}a^3 +\frac{ 3\sqrt{3} }{4}a^2\)
No i należy znaleźć największą wartość tej funkcji w przedziale \(\left(0, \frac{3}{2} \right)\)
Napisz co Ci wyszło , to pomogę zrobić b)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.

radagast
Guru
Guru
Posty: 17037
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7191 razy
Płeć:

Re: 2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: radagast » 20 mar 2018, 15:08

Enio pisze: 2.
Dany jest stożek, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła o promieniu r i kącie środkowym 72(stopnie). Rozpatrzmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne wpisane w ten stożek : ich dolna podstawa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej należą do powierzchni bocznej stożka. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, którego objętość jest największa.
Nieco trudniejsze od 1.
\(R\) -promień podstawy stożka
\(r\) -tworząca stożka
\(H\) -wysokość stożka

Zacznijmy od tego,że pole powierzchni bocznej to wycinek koła. Czyli
\(\frac{72}{360}= \frac{\pi Rr}{\pi r^2}\)
stąd
\(R= \frac{1}{5} r\)

\(H= \sqrt{(5R)^2-R^2} =2R \sqrt{6}\)
ScreenHunter_268.jpg
\(a,b\)-krawędzie graniastosłupa.
\(a \in \left(0,R \right)\) czyli \(a \in \left(0, \frac{1}{5}r \right)\)
Z twierdzenia Talesa mamy:
\(\frac{a \sqrt{2} }{2R}= \frac{H-b}{H}\)
czyli, o ile się nie pomyliłam w rachunkach ( co jest wątpliwe, zwykle się mylę)
\(b= \frac{2 r \sqrt{6}-5a \sqrt{12}}{5}\)
No i teraz jak zwykle:
\(V(a,b)=...\)
\(V(a)=...\)
I znaleźć największą wartość funkcji \(V(a)\) w odpowiednim przedziale.

PS to co powyżej należy traktować jak szkic rozwiązanie. Wymaga szczegółowego sprawdzenia.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.

Enio
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 21 lut 2018, 20:09
Podziękowania: 1 raz

Re: 2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: Enio » 20 mar 2018, 22:03

radagast pisze:
Enio pisze:1.
Rozpatrzmy graniastosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 9. a) Jaką największą objętość może mieć dany graniastosłup ?
b) Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa o największej objętości i środek przeciwległej krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
a)
ScreenHunter_266.jpg
\(a \in \left(0, \frac{3}{2} \right),b \in \left( 0,3\right)\)
\(V(a,b)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}b\)
\(6a+3b=9 \So b=3-2a\)
\(V(a)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \left( 3-2a\right)= -\frac{ \sqrt{3} }{2}a^3 +\frac{ 3\sqrt{3} }{4}a^2\)
No i należy znaleźć największą wartość tej funkcji w przedziale \(\left(0, \frac{3}{2} \right)\)
Napisz co Ci wyszło , to pomogę zrobić b)
Wyszło mi a = 1
Mógłabyś z b pomóc ?

radagast
Guru
Guru
Posty: 17037
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7191 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 20 mar 2018, 22:22

ScreenHunter_269.jpg
No to mamy do policzenia pole trójkąta \(BC_1M\). Policz jego boki i powiedz co Ci wyszło :)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.