2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Enio
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 21 lut 2018, 19:09
Podziękowania: 1 raz

2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: Enio »

1.
Rozpatrzmy graniastosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 9. a) Jaką największą objętość może mieć dany graniastosłup ?
b) Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa o największej objętości i środek przeciwległej krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

2.
Dany jest stożek, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła o promieniu r i kącie środkowym 72(stopnie). Rozpatrzmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne wpisane w ten stożek : ich dolna podstawa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej należą do powierzchni bocznej stożka. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, którego objętość jest największa.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: 2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: radagast »

Enio pisze:1.
Rozpatrzmy graniastosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 9. a) Jaką największą objętość może mieć dany graniastosłup ?
b) Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa o największej objętości i środek przeciwległej krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
a)
ScreenHunter_266.jpg
ScreenHunter_266.jpg (7.28 KiB) Przejrzano 2204 razy
\(a \in \left(0, \frac{3}{2} \right),b \in \left( 0,3\right)\)
\(V(a,b)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}b\)
\(6a+3b=9 \So b=3-2a\)
\(V(a)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \left( 3-2a\right)= -\frac{ \sqrt{3} }{2}a^3 +\frac{ 3\sqrt{3} }{4}a^2\)
No i należy znaleźć największą wartość tej funkcji w przedziale \(\left(0, \frac{3}{2} \right)\)
Napisz co Ci wyszło , to pomogę zrobić b)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: 2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: radagast »

Enio pisze: 2.
Dany jest stożek, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła o promieniu r i kącie środkowym 72(stopnie). Rozpatrzmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne wpisane w ten stożek : ich dolna podstawa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej należą do powierzchni bocznej stożka. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, którego objętość jest największa.
Nieco trudniejsze od 1.
\(R\) -promień podstawy stożka
\(r\) -tworząca stożka
\(H\) -wysokość stożka

Zacznijmy od tego,że pole powierzchni bocznej to wycinek koła. Czyli
\(\frac{72}{360}= \frac{\pi Rr}{\pi r^2}\)
stąd
\(R= \frac{1}{5} r\)

\(H= \sqrt{(5R)^2-R^2} =2R \sqrt{6}\)
ScreenHunter_268.jpg
ScreenHunter_268.jpg (12.1 KiB) Przejrzano 2200 razy
\(a,b\)-krawędzie graniastosłupa.
\(a \in \left(0,R \right)\) czyli \(a \in \left(0, \frac{1}{5}r \right)\)
Z twierdzenia Talesa mamy:
\(\frac{a \sqrt{2} }{2R}= \frac{H-b}{H}\)
czyli, o ile się nie pomyliłam w rachunkach ( co jest wątpliwe, zwykle się mylę)
\(b= \frac{2 r \sqrt{6}-5a \sqrt{12}}{5}\)
No i teraz jak zwykle:
\(V(a,b)=...\)
\(V(a)=...\)
I znaleźć największą wartość funkcji \(V(a)\) w odpowiednim przedziale.

PS to co powyżej należy traktować jak szkic rozwiązanie. Wymaga szczegółowego sprawdzenia.
Enio
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 21 lut 2018, 19:09
Podziękowania: 1 raz

Re: 2 optymalizacyjne zadania ze stereometrii

Post autor: Enio »

radagast pisze:
Enio pisze:1.
Rozpatrzmy graniastosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 9. a) Jaką największą objętość może mieć dany graniastosłup ?
b) Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa o największej objętości i środek przeciwległej krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
a)
ScreenHunter_266.jpg
\(a \in \left(0, \frac{3}{2} \right),b \in \left( 0,3\right)\)
\(V(a,b)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}b\)
\(6a+3b=9 \So b=3-2a\)
\(V(a)= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \left( 3-2a\right)= -\frac{ \sqrt{3} }{2}a^3 +\frac{ 3\sqrt{3} }{4}a^2\)
No i należy znaleźć największą wartość tej funkcji w przedziale \(\left(0, \frac{3}{2} \right)\)
Napisz co Ci wyszło , to pomogę zrobić b)
Wyszło mi a = 1
Mógłabyś z b pomóc ?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

ScreenHunter_269.jpg
ScreenHunter_269.jpg (15.93 KiB) Przejrzano 2196 razy
No to mamy do policzenia pole trójkąta \(BC_1M\). Policz jego boki i powiedz co Ci wyszło :)
ODPOWIEDZ