Prosta prostopadła do płaszczyzny

[VirtualUser]

Witam, mam takie zadanie:

Dany jest prostopadłościan \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) o podstawie kwadratowej \(ABCD\). Wysokość prostopadłościanu jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Na krawędzi \(AA_{1}\) wybrano punkt \(E\) taki,
że \(|AE| : |EA_{1}| = 1:8\). Przekątna \(AC_{1}\) przebija płaszczyznę przekroju \(EBD\) w punkcie \(F\). Wykaż, że prosta \(AF\) jest prostopadła do płaszczymy \(EBD\)

Czy dobrze rozumiem, że prosta jest prostopadła do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy gdy jest prostopadła do dwóch różnych prostych zawierających się w danej płaszczyźnie?

[radagast]

A Ty jesteś pewien, że to jest prawda ? Mam na myśli treść zadania, bo to co napisałeś pod zadaniem jest prawdą , a nawet Prosta jest prostopadła do płaszczyzny w i w gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie. No i właśnie na tej podstawie twierdzę ,że ona nie jest prostopadła.
Umieść to w układzie współrzędnych i sprawdź, że wektor \(\vec{AC_1}\)nie jest prostopadły do wektora \(\vec{BD}\).(chyba, że się mylę)

[radagast]

ScreenHunter_254.jpg (18.8 KiB) Przejrzano 1926 razy

\(\vec{AC_1}= \left[ a,a,3a \right]\)
\(\vec{EB}= \left[ a,0, -\frac{3}{8}a \right]\)
\(\vec{AC_1} \circ \vec{EB}=a^2+0-\frac{9}{8}a^2 \neq 0\)

[VirtualUser]

Sprawdziłem jeszcze raz w zbiorze i polecenie się zgadza, więc nie wiem co jest nie tak. Mam model rozwiązania i w nim udowadniają, że jest prostopadła do dwóch prostych, stąd moje pytanie czy to wystarcza, bo to, że musi być do wszystkich prostych prostopadła to wiem, bo wynika z definicji. I czy wystarczy, że jest prostopadła np. do jednej prostej?

Co do tego zadania to szczerze mówiąc nie wiem, bo nie potrafię go rozwiązać (nie mam pojęcia czy wynika to z ewentualnego błędu w treści czy, że po prostu nie jestem wstanie pojąć pewnych zależności)

[radagast]

Sprawdziłem jeszcze raz w zbiorze i polecenie się zgadza, więc nie wiem co jest nie tak. Mam model rozwiązania i w nim udowadniają, że jest prostopadła do dwóch prostych,

Chciałabym to zobaczyć. Myślę , że się mylą , to się ludziom zdarza (mi również)

stąd moje pytanie czy to wystarcza, bo to, że musi być do wszystkich prostych prostopadła to wiem, bo wynika z definicji.

Tak, to wystarcza (dlatego napisałam , że chciałabym to zobaczyć).

I czy wystarczy, że jest prostopadła np. do jednej prostej?

nie, to nie wystarcza.

[radagast]

Ja się pomyliłam tym razem !! Błędnie umiejscowiłam punt E. Zaraz poprawię .

[radagast]

\(\frac{|AE|}{|EA_{1}|}= \frac{z}{3a-z}=\frac{1}{8} \So z= \frac{1}{3}a\)
To jest właściwy rysunek:

ScreenHunter_255.jpg (15.89 KiB) Przejrzano 1910 razy

I teraz wystarczy pokazać, że \(\vec{AC_1} \circ \vec{DB}=0\) i \(\vec{AC_1} \circ \vec{EB}=0\)
\(\vec{AC_1}= \left[ a,a,3a \right]\)
\(\vec{DB}= \left[ a,-a,0 \right]\)
\(\vec{EB}= \left[ a,0,- \frac{1}{3} a \right]\)
No to istotnie :\(\vec{AC_1} \circ \vec{DB}=a^2-a^2+0=0\) oraz \(\vec{AC_1} \circ \vec{EB}=a^2+0-a^2=0\)
Przepraszam za zamieszanie

[VirtualUser]

Absolutnie żadne zamieszanie, te rozwiązanie jest genialne, dziękuję!