stereometria

[mahidevran]

1. Wykaż, że objętość stożka jest mniejsza od szescianu dlugosci jego tworzacej.
2. Walec ma promień podstawy dlugosci r. W podstawie dolnej tego walca poprowadzono cięciwę AB odległa od środka podstawy o 1/2 r. Prostokąt ABCD jest przekrojem walca płaszczyzną rownoległą do jego osi i AB:BC=1:2 oraz AC= 4 pieriwastki z 15. Oblicz objetosc tego walca.

[radagast]

1. Wykaż, że objętość stożka jest mniejsza od szescianu dlugosci jego tworzacej.

ScreenHunter_203.jpg (9.11 KiB) Przejrzano 1937 razy

należy pokazać , że
\(\frac{\pi}{3}r^2h<l^3\)

\(\frac{3}{\pi}> \frac{r^2}{l^2} \cdot \frac{h}{l}\)

czyli, że \(\frac{3}{\pi}>\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\)

wystarczy teraz pokazać że funkcja \(f( \alpha )=\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\) przyjmuje wartości mniejsze niż \(\frac{3}{\pi}\)

[eresh]

2. Walec ma promień podstawy dlugosci r. W podstawie dolnej tego walca poprowadzono cięciwę AB odległa od środka podstawy o 1/2 r. Prostokąt ABCD jest przekrojem walca płaszczyzną rownoległą do jego osi i AB:BC=1:2 oraz AC= 4 pieriwastki z 15. Oblicz objetosc tego walca.

\(|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2\\
240=|AB|^2+4|AB|^2\\
|AB|=4\sqrt{3}\)


(\(0,5r)^2+(0,5|AB|)^2=r^2\\
r=4\\
|BC|=h\\
h=2|AB|\\
h=8\sqrt{3}\\
V=\pi\cdot 16\cdot 8\sqrt{3}\\
V=128\pi\sqrt{3}\)