1. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy.
2. Okrąg wpisany w podstawę ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o wysokości 6 ma promień 6 \sqrt{3} . Wyznacz cos \alpha ,gdzie \alpha jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
2 zadania z kątami dwuściennymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Zad. 1
Narysuj ostrosłup o podstawie ABCD i wierzchołku W.
Krawędzie podstawy mają długość a,krawędzie boczne 2a.
Miarę kąta dwuściennego określi kąt BPD ,gdzie P jest na krawędzi CW i \(BP \perp CW\;\;i\;\;DP \perp CW\)
Mówiąc wprost BP to wysokość trójkąta BCW z wierzchołka B na CW,analogicznie DP to wysokość w DCW z D na CW.
Najpierw oblicz wysokość h trójkąta BCW z W na środek BC.
\(( \frac{a}{2})^2+ h^2=(2a)^2\\h^2=3 \frac{3}{4}a^2= \frac{15}{4}a^2\\h= \frac{ \sqrt{15} }{2}a\)
Oblicz wysokość w tego samego trójkata w=|BP|=|DP|
Korzystasz z pola trójkąta
\(\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot w= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\\2w=h\\w= \frac{h}{2}= \frac{ \sqrt{15} }{4}a\)
Już tylko zastosuj tw.cosinusów w BDP
\((a \sqrt{2})^2=w^2+w^2-2w \cdot w \cdot cos x\)
x to miara kąta dwuściennego.
\(2a^2=2w^2(1-cos x)\\1-cos x= \frac{a^2}{w^2}= \frac{16}{15}\\cos x=1- \frac{16}{15}\\cos x=- \frac{1}{15}\)
Narysuj ostrosłup o podstawie ABCD i wierzchołku W.
Krawędzie podstawy mają długość a,krawędzie boczne 2a.
Miarę kąta dwuściennego określi kąt BPD ,gdzie P jest na krawędzi CW i \(BP \perp CW\;\;i\;\;DP \perp CW\)
Mówiąc wprost BP to wysokość trójkąta BCW z wierzchołka B na CW,analogicznie DP to wysokość w DCW z D na CW.
Najpierw oblicz wysokość h trójkąta BCW z W na środek BC.
\(( \frac{a}{2})^2+ h^2=(2a)^2\\h^2=3 \frac{3}{4}a^2= \frac{15}{4}a^2\\h= \frac{ \sqrt{15} }{2}a\)
Oblicz wysokość w tego samego trójkata w=|BP|=|DP|
Korzystasz z pola trójkąta
\(\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot w= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\\2w=h\\w= \frac{h}{2}= \frac{ \sqrt{15} }{4}a\)
Już tylko zastosuj tw.cosinusów w BDP
\((a \sqrt{2})^2=w^2+w^2-2w \cdot w \cdot cos x\)
x to miara kąta dwuściennego.
\(2a^2=2w^2(1-cos x)\\1-cos x= \frac{a^2}{w^2}= \frac{16}{15}\\cos x=1- \frac{16}{15}\\cos x=- \frac{1}{15}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Zad.2
\(r=6\sqrt{3}\;\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\; \frac{a \sqrt{3} }{2}=6 \sqrt{3}\;\;\;\;\;stąd\;\;\;\;a=12\)
Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a=12.
H---wysokość ostrosłupa
h---wysokość ściany bocznej z wierzchołka W na krawędź podstawy a.
\(H^2+r^2=h^2\\h^2=6^2+(6\sqrt{3})^2=36+108=144\\h=12\)
Liczysz krawędź boczną b
\(h^2+( \frac{a}{2})^2=b^2\\144+36=b^2\\b^2=180\\b=6 \sqrt{5}\)
Porównując poe jednej ściany bocznej policzysz w (analogicznie jak w zad.1)
\(\frac{1}{2}b \cdot w= \frac{1}{2}a \cdot h\\w= \frac{a \cdot h}{b}= \frac{144}{6 \sqrt{5} }= \frac{24 \sqrt{5} }{5}\)
Pozostaje tw.cosinusów w trójkącie równoramiennym o ramionach w i podstawie równej \(2 \cdot 6 \sqrt{3}=12 \sqrt{3}\)
\((12 \sqrt{3})^2=( \frac{24}{ \sqrt{5} })^2+( \frac{24}{ \sqrt{5} } )^2-2( \frac{24}{ \sqrt{5} })^2 \cdot cos x\)
Dojdziesz do wyniku
\(cos x=- \frac{7}{8}\)
\(r=6\sqrt{3}\;\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\; \frac{a \sqrt{3} }{2}=6 \sqrt{3}\;\;\;\;\;stąd\;\;\;\;a=12\)
Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a=12.
H---wysokość ostrosłupa
h---wysokość ściany bocznej z wierzchołka W na krawędź podstawy a.
\(H^2+r^2=h^2\\h^2=6^2+(6\sqrt{3})^2=36+108=144\\h=12\)
Liczysz krawędź boczną b
\(h^2+( \frac{a}{2})^2=b^2\\144+36=b^2\\b^2=180\\b=6 \sqrt{5}\)
Porównując poe jednej ściany bocznej policzysz w (analogicznie jak w zad.1)
\(\frac{1}{2}b \cdot w= \frac{1}{2}a \cdot h\\w= \frac{a \cdot h}{b}= \frac{144}{6 \sqrt{5} }= \frac{24 \sqrt{5} }{5}\)
Pozostaje tw.cosinusów w trójkącie równoramiennym o ramionach w i podstawie równej \(2 \cdot 6 \sqrt{3}=12 \sqrt{3}\)
\((12 \sqrt{3})^2=( \frac{24}{ \sqrt{5} })^2+( \frac{24}{ \sqrt{5} } )^2-2( \frac{24}{ \sqrt{5} })^2 \cdot cos x\)
Dojdziesz do wyniku
\(cos x=- \frac{7}{8}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.