Hej mam problem z dwoma zadaniami. Licze na pomoc i z góry dziękuję:)
Zad.1: Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokatnego, którego wysokośc ma długość równą 4 a pole bowierzchni bocznej jest równe 16 pierwiasek z 5.
Zad. : Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 9, Kąt między ścianą boczną o podstawą ostrosłupa ma miarę 60 stopni. Wyznacz długość krawędzi podstawy ostrosłupa.
Powierzchnia ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Trzeba obliczyć \(P_p=a^2\), gdzie a- krawędź podstawy. h- wysokość ściany bocznej, H=4- wysokość ostrosłupa
\(P_b=4\cdot\frac{1}{2}ah=16\sqrt{5}\\h=\frac{8\sqrt{5}}{a}\\H^2+(\frac{a}{2})^2=h^2\\16+\frac{a^2}{4}=\frac{320}{a^2}\ /\cdot\ a^2\\16a^2+a^4=320\\a^4+16a^2-320=0\\\Delta=256+320\cdot4=1536\\\sqrt{\Delta}=16\sqrt{6}\\a^2=\frac{-16-16\sqrt{6}}{2}<0\ a^2=\frac{-16+16\sqrt{6}}{2}=8(\sqrt{6}-1)\\P_p=\8(\sqrt{6}-1)\\P_c=8(\sqrt{6}-1+2\sqrt{5})\)
\(P_b=4\cdot\frac{1}{2}ah=16\sqrt{5}\\h=\frac{8\sqrt{5}}{a}\\H^2+(\frac{a}{2})^2=h^2\\16+\frac{a^2}{4}=\frac{320}{a^2}\ /\cdot\ a^2\\16a^2+a^4=320\\a^4+16a^2-320=0\\\Delta=256+320\cdot4=1536\\\sqrt{\Delta}=16\sqrt{6}\\a^2=\frac{-16-16\sqrt{6}}{2}<0\ a^2=\frac{-16+16\sqrt{6}}{2}=8(\sqrt{6}-1)\\P_p=\8(\sqrt{6}-1)\\P_c=8(\sqrt{6}-1+2\sqrt{5})\)
a- krawędź podstawy, h- wysokość ściany bocznej, H- wysokość ostrosłupa, r- promień okręgu wpisanego w trójkąt podstawy (trójkąt równoboczny o boku a)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej a promieniem okręgu wpisanego w podstawę. Te dwa odcinki razem z H tworzą trójkąt prostokątny.
\(\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h}=cos60^o\\\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}h\\h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(P_c=P_p+P_b\\9=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot\frac{1}{2}ah\\\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}=9\\a^2=4\sqrt{3}\\a=\sqrt{2\sqrt{3}}\)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej a promieniem okręgu wpisanego w podstawę. Te dwa odcinki razem z H tworzą trójkąt prostokątny.
\(\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h}=cos60^o\\\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}h\\h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(P_c=P_p+P_b\\9=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot\frac{1}{2}ah\\\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}=9\\a^2=4\sqrt{3}\\a=\sqrt{2\sqrt{3}}\)