przekroje ostrosłupów

[dytko]

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku S.Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty B i D oraz przez punkt P będący środkiem krawędzi CS.Wykaż,że jeśli trójkąt BDP jest równoboczny,to stosunek długości krawędzi bocznej ostrosłupa do długości krawędzi podstawy jest równy \(\frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }\)

[eresh]

O - spodek wysokości ostrosłupa
a - długość krawędzi podstawy
b - długość krawędzi bocznej
OP - wysokość trójkąta równobocznego BDP
\(|OP|=\frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\\\)
OP jest środkową w trójkącie prostokątnym SOC, jest więc równa połowie przeciwprostokątnej
\(|OP|=\frac{1}{2}b\\
\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{1}{2}b\\
a\sqrt{6}=b\\
\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{6}}\\
\frac{b}{a}=\frac{6}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}\\
\frac{b}{a}=\frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\\
\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)