Diabelski przekrój czworościanu foremnego

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Diabelski przekrój czworościanu foremnego

Post autor: radagast »

@poetaopole, moje rozwiązanie jest jednak dobre (chyba, bo przy tylu podejściach już straciłam pewność). Nie wiem dlaczego miałam wątpliwości co do położenia punktu X. PB przecina diabelski przekrój na odcinku MS ponad wszelką wątpliwość, bo odcinek MS leży zarówno na płaszczyźnie diabelskiego przekroju jak na płaszczyźnie ABC (to ta czerwona płaszczyzna).
Jeśli zaś chodzi o uwagę kerajsa, że to nie ten odcinek, to może to i racja. Ja liczę odległość punktu X od ściany (podstawy) zawierającej punkt P, a on chce liczyć od ściany zawierającej punkt S. To już jest wina zadania (niedokładnie sformułowane) Może z tego wynika różnica w odpowiedzi mojej i książkowej. Sprawdzę to kiedyś , a może spróbuj sam..., koniecznie powiedz co Ci wyszło :)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Nie wytrzymałam i policzyłam już.
wychodzi \(\frac{2}{5} \sqrt{6}\), co potwierdza wynik Kerajsa (no i mój) . Jak chcesz to Ci pokażę jak mi to wyszło ale to potem , a na razie podpowiem że należy na 2 sposoby policzyć pole trójkąta SBX, albo posłużyć się podobieństwem trójkątów (posługując się moim wcześniejszym wynikiem).
Zdecydowanie moje rozwiązanie jest bardziej elementarne niż to Kerajsa, ma 3 linijki , a wynik ten sam :)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Oznaczenia jak na grafice Radagast ''na płasko''

\(\angle ABP= \beta \\
\angle BSM= \delta \\
z \ \Delta ABP \ mam:\\
\sin \beta = \frac{ \sqrt{3} }{3 \sqrt{3} }= \frac{1}{3}\\
\cos \beta = \frac{ 2\sqrt{6} }{3 \sqrt{3} }= \frac{2 \sqrt{2} }{3}\)

Trójkąt BSM jest równoramienny. Dzieląc do na pół wysokością MM' mam:
\(\sin \delta = \frac{ \sqrt{6} }{3 }\\
\cos \delta = \frac{ \sqrt{3} }{3 }\)

Z tw. sinusów w trójkącie BSX :
\(\frac{\left| SX\right| }{\sin \beta } = \frac{\left| BS\right| }{\sin \left( \pi - \beta -\delta \right) } \\
\left| SX\right|= \frac{2 \sqrt{3} \sin \beta }{\sin \left( \pi - \beta -\delta \right) }=
\frac{2 \sqrt{3}\sin \beta }{\sin \left( \beta +\delta \right) }=
\frac{2 \sqrt{3} \sin \beta }{\sin \beta \cos \delta + \sin \delta \cos \beta }= \frac{6}{5}\)

Szukana odległość to wysokość XX' w trójkącie BSX.
\(\frac{\left| XX'\right| }{\left| SX\right| }=\sin \delta \Rightarrow \left| XX'\right|= \frac{2 \sqrt{3} }{5}\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

A ja znów nieco prościej:
ScreenHunter_1903.jpg
ScreenHunter_1903.jpg (10.62 KiB) Przejrzano 2453 razy
wiemy już , że \(PX= \frac{4}{5} \sqrt{6}\), chcemy policzyć \(XT\):
z podobieństwa trójkątów TBX oraz PBA mamy: \(\frac{XT}{2 \sqrt{6} - \frac{4}{5} \sqrt{6} } = \frac{ \sqrt{3} }{6}\)
stąd \(XT= \frac{2}{5} \sqrt{6}\)
korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 6261
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 83 razy
Otrzymane podziękowania: 1523 razy
Płeć:

Post autor: korki_fizyka »

Przepraszam, że się wtrącam ale geometria kartezjańska jest również euklidesową ;)
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Diabelski przekrój czworościanu foremnego

Post autor: kerajs »

Chciałbym wyjaśnić parę spraw:
1)
Posłużyłem się metodami geometrii analitycznej aby użyć innego sposobu obliczania szukanej odległości. Miało to być alternatywne do metod plani(stereo)metrycznych stosowanych przez inne osoby rozwiązanie wykazujące nieprawdziwość książkowej odpowiedzi. Dlatego prostota czy szybkość rozwiązania były sprawą drugorzędną. Nb, rozwiązanie trafiające w krawędź było liczone analityczne jedynie dla sprawdzenia czy otrzyma się oczywiste dla tak łatwo położonego punktu wyniki.
2)
Mam spore problemy z netem i dzisiejsze posty Radagast się nie wyświetlały. Dlatego przepraszam za wysłanie rozwiązania z twierdzeniem sinusów gdyż sądziłem że skasowała swoje posty. Skasowałbym je, ale zanim łącze łaskawie mi to umożliwiło to pojawiło się rozwiązanie Radagast.
Moje rozwiązanie także miało być inne niż wcześniej sugerowane czy pokazywane, i nie miało bazować na uzyskanych już wynikach. Tu także esencjonalność czy łatwość rozwiązania były drugorzędne.
3)
radagast pisze: Jeśli zaś chodzi o uwagę kerajsa, że to nie ten odcinek, to może to i racja. Ja liczę odległość punktu X od ściany (podstawy) zawierającej punkt P, a on chce liczyć od ściany zawierającej punkt S.
Zauważ że w treści zadania pada określenie podstawa. Jej wysokość jest krawędzią przekroju. Ściana od której odległość liczysz nie zawiera żadnej z krawędzi przekroju, więc nie może być podstawą o której mowa w treści zadania.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Diabelski przekrój czworościanu foremnego

Post autor: radagast »

Najważniejsze, że wspólnie udało się rozwiązać zadanie. Łatwo nie było :)
ODPOWIEDZ