zad.10
Odcinek o końcach A(2,3) i B(0,5) jest podstawą trapezu ABCD. Druga podstawa o środku w punkcie S(-2,1), jest 2 razy dłuższa od podstawy AB. Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót trapezu ABCD wokół prostej AB.
obrót trapezu arkusz maturalny zestaw 1
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
06madziula04
- Dopiero zaczynam
- Posty: 12
- Rejestracja: 11 mar 2010, 16:06
Prosta AB:
\(\frac{y-3}{x-2}=\frac{5-3}{0-2}\\\frac{y-3}{x-2}=-1\\y-3=-x+2\\x+y-5=0\\AB:\ x+y-5=0\)
Prosta CD jest równoległa do AB i przechodzi przez punkt S:
\(x+y+k=0\\-2+1+k=0\\k=1\\CD:\ x+y+1=0\)
Podstawa CD jest 2 razy dłuższa od AB, więc:
\(\vec{SC}=\vec{AB}\\\vec{AB}=[0-2;\ 5-3]=[-2;\ 2]\\C=(c_1 c_2)\\\vec{SC}=[c_1+2;\ c_2-1]\\ \begin{cases}c_1+2=-2\\c_2-1=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}c_1=-4\\c_2=3 \end{cases}\\C=(-4;\ 3)\)
\(\vec{SD}=\vec{BA}\\\vec{BA}=[2;\ -2] \\D=(d_1;\ d_2)\\\vec{SD}=[d_1+2;\ d_2-1]\\ \begin{cases}d_1+2=2\\d_2-1=-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}d_1=0\\d_2=-1 \end{cases} \\D=(0,\ -1)\)
Obliczam długość boków tego trapezu:
\(|AB|=\sqrt{((0-8)^2+(5-3)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\|AD|=2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\|AD|=\sqrt{(0-2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\|BC|=\sqrt{(-4-0)^2+(3-5)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Trapez jest równoramienny.
Wysokość trapezu opuszczona z punktu A to AE. W trójkącie prostokątnym AED:
\(|AD|=2\sqrt{5}\\|DE|=\sqrt{2}\\|AE|=h\\h^2+(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{5})^2\\h^2=18\\h=3\sqrt{2}\)
W wyniku obrotu tego trapezu wokół podstawy AB otrzymujemy walec, którego promień podstawy jest równy h i wysokość jest równa |CD| z wydrążonymi dwoma jednakowymi stożkami o promieniu podstawy równym h i wysokości równej |DE|.
\(V=\pi\cdot(3\sqrt{2})^2\cdot4\sqrt{2}-2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot(3\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}\\V=\pi\cdot18\cdot4\sqrt{2}-\frac{2}{3}\pi\cdot18\cdot\sqrt{2}=72\sqrt{2}\pi-12\sqrt{2}\pi=60\sqrt{2}\pi\)
\(\frac{y-3}{x-2}=\frac{5-3}{0-2}\\\frac{y-3}{x-2}=-1\\y-3=-x+2\\x+y-5=0\\AB:\ x+y-5=0\)
Prosta CD jest równoległa do AB i przechodzi przez punkt S:
\(x+y+k=0\\-2+1+k=0\\k=1\\CD:\ x+y+1=0\)
Podstawa CD jest 2 razy dłuższa od AB, więc:
\(\vec{SC}=\vec{AB}\\\vec{AB}=[0-2;\ 5-3]=[-2;\ 2]\\C=(c_1 c_2)\\\vec{SC}=[c_1+2;\ c_2-1]\\ \begin{cases}c_1+2=-2\\c_2-1=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}c_1=-4\\c_2=3 \end{cases}\\C=(-4;\ 3)\)
\(\vec{SD}=\vec{BA}\\\vec{BA}=[2;\ -2] \\D=(d_1;\ d_2)\\\vec{SD}=[d_1+2;\ d_2-1]\\ \begin{cases}d_1+2=2\\d_2-1=-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}d_1=0\\d_2=-1 \end{cases} \\D=(0,\ -1)\)
Obliczam długość boków tego trapezu:
\(|AB|=\sqrt{((0-8)^2+(5-3)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\|AD|=2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\|AD|=\sqrt{(0-2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\|BC|=\sqrt{(-4-0)^2+(3-5)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Trapez jest równoramienny.
Wysokość trapezu opuszczona z punktu A to AE. W trójkącie prostokątnym AED:
\(|AD|=2\sqrt{5}\\|DE|=\sqrt{2}\\|AE|=h\\h^2+(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{5})^2\\h^2=18\\h=3\sqrt{2}\)
W wyniku obrotu tego trapezu wokół podstawy AB otrzymujemy walec, którego promień podstawy jest równy h i wysokość jest równa |CD| z wydrążonymi dwoma jednakowymi stożkami o promieniu podstawy równym h i wysokości równej |DE|.
\(V=\pi\cdot(3\sqrt{2})^2\cdot4\sqrt{2}-2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot(3\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}\\V=\pi\cdot18\cdot4\sqrt{2}-\frac{2}{3}\pi\cdot18\cdot\sqrt{2}=72\sqrt{2}\pi-12\sqrt{2}\pi=60\sqrt{2}\pi\)