prostpoadłościan

[inter]

Dany jest prostopadłościan ABCDA1B1C1D1 o podstawie kwadratowej ABCD. Wysokość
prostopadłościanu jest trzy razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Na krawędzi AA1 wybrano
punkt E taki, że |AE| : |EA1|=1:8. Przekątna AC1 przebija płaszczyznę EBD w punkcie F. Wykaż,
że prosta AF jest prostopadła do płaszczyzny EBD.

[kerajs]

\(|AE|= \frac{a}{3}\)
Oznaczę środek odcinka AC przez G. Należy narysować przekrój ACC1A1 i wykazać prostopadłość odcinków EG i AC1. Tak będzie gdy kąty AC1C oraz EGA będą równe.
\(\tg \left( \angle AC_1C\right) = \frac{|AC|}{|CC_1|}= \frac{a \sqrt{2} }{3a}= \frac{ \sqrt{2} }{3}\)
\(\tg \left( \angle EGA\right) = \frac{|AE|}{|AG|}= \frac{ \frac{a}{3} }{ \frac{a \sqrt{2} }{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{3}\)
qed

[Panko]

Taki drobiazg .
Szkoła prponuje tu tw :
Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych \(k,l\) to jest ona prostopadła do każdej prostej na płaszczyźnie wyznaczonej przez proste \(k,l.\)
Wtedy z definicji :
Prosta jest \(\perp\) do płaszczyzny \(\iff\) gdy jest prostopadła do każdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie
Mamy żądaną prostopadłość.
.....................................................
Czyli jeżeli pokażemy jedną prostą prostopadłą i że jest < symetria > ? to czy juz wystarczy ?

[kerajs]

z definicji :
Prosta jest \(\perp\) do płaszczyzny \(\iff\) gdy jest prostopadła do każdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie
Mamy żądaną prostopadłość.
.....................................................
Czyli jeżeli pokażemy jedną prostą prostopadłą i że jest < symetria > ? to czy juz wystarczy ?

Tak, przy takiej definicji.
Aczkolwiek to kwestia umowy czy można mówić o kącie miedzy prostymi skośnymi.


Jeśli można użyć wiadomości pozaprogramowych to szukaną prostopadłość szybko można wykazać przez
równoległość wektora normalnego płaszczyzny BDE i kierunkowego prostej AC1.


Natomiast licealista mógłby wrzucić przekrój ACC1A1 w układ współrzędnych:
\(A=(0,0)\\
C=(a \sqrt{2},0 )\\
C_1=(a \sqrt{2},3a )\\
A_1=(0,3a )\\
E=( \frac{a}{3},0)\\
G=( \frac{a \sqrt{2} }{2},0)\)
i wykazać prostopadłość dowolnym sposobem.

[Panko]

Tak , szanowny Kolego , to co napisałeś to wiemy .
Ale chciałbym odpowiedzi (? dyskusji ) na moje pytanie , czy to co przedstawiłeś to już dowód czy też wymaga uzupełnienia ?
Po prostu , te metody wektorowe to samograj .
A fakciki które przytoczyłem , tak się wprowadza w przyzwoitych podręcznikach szkolnych relacje pomiędzy : prostą -płaszczyzną .
I do takiego twierdzenia z dowodem się chyba( ? ) trzeba przymierzać.

[kerajs]

Przyznaję, nie domyśliłem się, że Twój post dotyczy mojego rozwiązania.

Moim zdaniem, to co napisałem nie wymaga dodatkowych założeń/ twierdzeń/ etc.
To, że kąt między płaszczyzną BDE a prostą AC1 leży w przekroju ACC1A1 jest tak samo oczywiste jak to, że kąt nachylenia płaszczyzny BDE do podstawy prostopadłościanu także leży w przekroju ACC1A1, a nikt nie wymaga do tego faktu dodatkowych założeń.

A z podręcznikami jest jak z modą, zmieniają się.