w graniastosłupie prawidłowym trójkatnym.. Wykaż że
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
w graniastosłupie prawidłowym trójkatnym.. Wykaż że
w graniastosłupie prawidłowym trójkatnym przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze \(\beta\). Miara kąta nachylenia tej przekątnej do sąsiedniej ściany bocznej graniastosłupa jest równa alfa. Wykaż że\(\tg \alpha = \frac{ \sqrt{3} \tg \beta }{ \sqrt{4+ \tg^2 \beta } }\)
-
sebnorth
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
Mamy graniastosłup ABC DEF, \(a\) - długość boku podstawy, \(h\) - wysokość gran.
rzut prostokątny F na ścianę ABED to będzie punkt M który jest środkiem krawędzi DE
Kąt \(\alpha\) to będzie kąt MAF
\(\tg \alpha = \frac{FM}{MA} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4} }} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{\frac{h}{a} + \frac{1}{4} } }\)
\(\frac{h}{a}\) wyznaczymy z trójkąta DAF
\(\cos \beta = \frac{h}{\sqrt{a^2+h^2}} = \frac{1}{\sqrt{ \frac{a}{h} + 1}}\)
\(\cos^2 \beta = \frac{1}{ \frac{a}{h} +1}\)
z tego \(\frac{h}{a} = \frac{\cos^2 \beta}{1 - \cos^2 \beta}\)
\(\tg^2 \beta = \frac{1 - \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \frac{a}{h}\)
\(\tg \alpha = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{\frac{h}{a} + \frac{1}{4}} } = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{\frac{1}{\tg^2 \beta} + \frac{1}{4} } } = \ldots\)
rzut prostokątny F na ścianę ABED to będzie punkt M który jest środkiem krawędzi DE
Kąt \(\alpha\) to będzie kąt MAF
\(\tg \alpha = \frac{FM}{MA} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4} }} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{\frac{h}{a} + \frac{1}{4} } }\)
\(\frac{h}{a}\) wyznaczymy z trójkąta DAF
\(\cos \beta = \frac{h}{\sqrt{a^2+h^2}} = \frac{1}{\sqrt{ \frac{a}{h} + 1}}\)
\(\cos^2 \beta = \frac{1}{ \frac{a}{h} +1}\)
z tego \(\frac{h}{a} = \frac{\cos^2 \beta}{1 - \cos^2 \beta}\)
\(\tg^2 \beta = \frac{1 - \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \frac{a}{h}\)
\(\tg \alpha = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{\frac{h}{a} + \frac{1}{4}} } = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} }{\sqrt{\frac{1}{\tg^2 \beta} + \frac{1}{4} } } = \ldots\)