Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego opisanego na tej kuli, jeśli przekrój ostrosłupa zawierający dwie jego krawędzie boczne jest trójkątem:
a) równobocznym
b) prostokątnym.
odpowiedzi są takie:
a) \(\frac{ \pi (5 \sqrt{7} -11)}{18}\)
b) \(\frac{ \pi (3 \sqrt{3} -5)}{2}\)
ostrosłup prawidłowy czworokątny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Ten przekrój przechodzi przez przekątną podstawy oraz dwie niekolejne krawędzie boczne. Promień kuli jest taki sam jak promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny którego wierzchołki to środki dwóch niekolejnych boków podstawy (kwadratu) oraz wierzchołek ostrosłupa. Jego wysokość jest taka sama jak wysokość przekroju, a podstawa to podstawa przekroju pomnożona przez \(\frac{ \sqrt{2} }{2}\)
a) Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) wysokość trójkąta równoramiennego to \(\frac{a \sqrt{3} }{2}\) , a podstawa to \(\frac{a \sqrt{2} }{2}\)
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to: \(r= \frac{a \sqrt{3} }{2( \sqrt{7}+1) }\)
Szukany stosunek: \(S= \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3 }{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}}=....\)
b) Dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej \(a\) wysokość trójkąta równoramiennego to \(\frac{a }{2}\) , a podstawa to \(\frac{a \sqrt{2} }{2}\)
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to: \(r= \frac{a }{2( \sqrt{3}+1) }\)
Szukany stosunek: \(S= \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3 }{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{a }{2}}=....\)
a) Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) wysokość trójkąta równoramiennego to \(\frac{a \sqrt{3} }{2}\) , a podstawa to \(\frac{a \sqrt{2} }{2}\)
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to: \(r= \frac{a \sqrt{3} }{2( \sqrt{7}+1) }\)
Szukany stosunek: \(S= \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3 }{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}}=....\)
b) Dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej \(a\) wysokość trójkąta równoramiennego to \(\frac{a }{2}\) , a podstawa to \(\frac{a \sqrt{2} }{2}\)
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to: \(r= \frac{a }{2( \sqrt{3}+1) }\)
Szukany stosunek: \(S= \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3 }{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{a }{2}}=....\)