1) Szklankę w kształcie walca o promieniu podstawy 1 i wysokości 3 napełniono wodą. Następnie tę szklankę przechylono tak, że wylała się 1/3 jej zawartości. Pod jakim kątem przechylono szklankę?
2)Podstawą ostrosłupa jest czworokąt ABCD, w którym I AB I=2, I BC I=5, I CD I= 10. Wiedząc, że wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa tworzą z podstawą kąt 15°. Oblicz długość odcinka DA
walec, ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Szkoda, że nie mogę narysować rysunku, ale postaram się go opisać:
-Narysuj prostokąt ABCD, który jest przekrojem osiowym walca, czyli |AB|=2r=2, |BC|=H=3. Narysuj odcinek CE, który w punkcie E przecina bok AD oraz odcinek EF, równoległy do podstawy AB. Poprowadź prostą k, równoległą do EC przez punkt B. Prosta k to blat stołu po przechyleniu szklanki, czyli jej kąt z odcinkiem BC to kąt przechylenia szklanki. EC to przekrój "lustra wody" po przechyleniu szklanki. Nazwałam ten kąt \(\alpha\). Kąt ECF to kąt też równy \(\alpha\) (kąty naprzemianległe).
Trapez ABCE to przekrój tego, co w szklance zostało po przechyleniu, a trójkąt ECD- przekrój tego, co się wylało. Trójkąty DEC i EFC są przystające. Czyli ta część wody to też trzecia część pełnej szklanki. Zatem ABFE przedstawia przekrój trzeciej części objętości szklanki, czyli |BF| to trzecia część wysokości szklanki, równa 1. Zatem w trójkącie AFE: |EF|=2 i |FC|=2. Trójkąt EFC jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Czyli \(| \angle ECF|=45^o\).
Czyli - przechylono tę szklankę o kąt \(45^o\).
2.
Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy to kąt między wysokością tej ściany bocznej a odległością spodka wysokości ostrosłupa do krawędzi podstawy tej ściany bocznej. Jeśli wszystkie ściany bocznej tworzą równe kąty z podstawą, to trójkąty prostokątne utworzone przez wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej i odległość spodka wysokości od krawędzi podstawy są przystające (trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej i przystającym kącie ostrym naprzeciw tej wysokości.). Czyli- odległości spodka wysokości od każdej krawędzi podstawy jest taka sama. Zatem dla czworokąta ABCD istnieje punkt równo odległy od wszystkich jego boków- oznacza to, że w ten czworokąt można wpisać okrąg.
wynika stąd, że |AB|+|CD|=|BC|+|AD|, czyli 2+10=5+|AD|. Stąd |AD|=7.
Szkoda, że nie mogę narysować rysunku, ale postaram się go opisać:
-Narysuj prostokąt ABCD, który jest przekrojem osiowym walca, czyli |AB|=2r=2, |BC|=H=3. Narysuj odcinek CE, który w punkcie E przecina bok AD oraz odcinek EF, równoległy do podstawy AB. Poprowadź prostą k, równoległą do EC przez punkt B. Prosta k to blat stołu po przechyleniu szklanki, czyli jej kąt z odcinkiem BC to kąt przechylenia szklanki. EC to przekrój "lustra wody" po przechyleniu szklanki. Nazwałam ten kąt \(\alpha\). Kąt ECF to kąt też równy \(\alpha\) (kąty naprzemianległe).
Trapez ABCE to przekrój tego, co w szklance zostało po przechyleniu, a trójkąt ECD- przekrój tego, co się wylało. Trójkąty DEC i EFC są przystające. Czyli ta część wody to też trzecia część pełnej szklanki. Zatem ABFE przedstawia przekrój trzeciej części objętości szklanki, czyli |BF| to trzecia część wysokości szklanki, równa 1. Zatem w trójkącie AFE: |EF|=2 i |FC|=2. Trójkąt EFC jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Czyli \(| \angle ECF|=45^o\).
Czyli - przechylono tę szklankę o kąt \(45^o\).
2.
Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy to kąt między wysokością tej ściany bocznej a odległością spodka wysokości ostrosłupa do krawędzi podstawy tej ściany bocznej. Jeśli wszystkie ściany bocznej tworzą równe kąty z podstawą, to trójkąty prostokątne utworzone przez wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej i odległość spodka wysokości od krawędzi podstawy są przystające (trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej i przystającym kącie ostrym naprzeciw tej wysokości.). Czyli- odległości spodka wysokości od każdej krawędzi podstawy jest taka sama. Zatem dla czworokąta ABCD istnieje punkt równo odległy od wszystkich jego boków- oznacza to, że w ten czworokąt można wpisać okrąg.
wynika stąd, że |AB|+|CD|=|BC|+|AD|, czyli 2+10=5+|AD|. Stąd |AD|=7.