Proste równoległe czy proste skośne

[NieRozumiem85]

Czy proste są równoległe czy skośne? Oblicz odległość między nimi:

l1: \(\begin{cases} 2x+y-z=0\\ x+2y-3z=0\end{cases}\)

l2:\(\begin{cases} 2x+y-z-3=0\\x-y+2z-2=0\end{cases}\)

[radagast]

l1:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,2,-3\right] = \left[-1,-7,3 \right]\)
l2:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,-1,2\right] = \left[1,-5,-3 \right]\)

\(\left[-1,-7,3 \right] \nparallel \left[1,-5,-3 \right]\) no to skośne.

[NieRozumiem85]

l1:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,2,-3\right] = \left[-1,-7,3 \right]\)
l2:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,-1,2\right] = \left[1,-5,-3 \right]\)

\(\left[-1,-7,3 \right] \nparallel \left[1,-5,-3 \right]\) no to skośne.

A jak obliczyć odległość między nimi?

[radagast]

A prawda ! zapomniałam ! Pomyślę , pewnie się uda

[radagast]

\(\left[-1,-7,3 \right] \times \left[1,-5,-3 \right]= \left[ 36,0,12\right] \parallel \left[3,0,1 \right]\)
No to płaszczyzna \(3x+z=0\) jest równoległa do \(l_2\), zawiera \(l_1\)
Wystarczy teraz znaleźć odległość \(l_2\) od tej płaszczyzny (czyli odległość dowolnego punktu \(l_2\) od tej płaszczyzny)
\(\left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3},1 \right) \in l_2\)
\(d= \frac{|3 \cdot \frac{4}{3}+0 \cdot \frac{4}{3}+1| }{ \sqrt{3^2+0^2+1^2} } = \frac{5}{ \sqrt{10} } = \frac{ \sqrt{10} }{2}\)

[NieRozumiem85]

l1:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,2,-3\right] = \left[-1,-7,3 \right]\)
l2:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,-1,2\right] = \left[1,-5,-3 \right]\)

\(\left[-1,-7,3 \right] \nparallel \left[1,-5,-3 \right]\) no to skośne.

Mam pytanie do wektora prostej l1. Czy na pewno jest poprawnie obliczony? Ponieważ wedługmoich wyliczeń wychodzi [-1,5,3]

[radagast]

Tak, masz rację. Pomyliłam się . A więc równoległe .

[NieRozumiem85]

Tak, masz rację. Pomyliłam się . A więc równoległe .

A jak zatem obliczyć odległość między dwoma prostymi równoległymi?

[radagast]

To będzie nieco łatwiejsze ale jak widzisz ja z rachunków słaba jestem , to Ci napiszę jak , a Ty sobie policzysz ale to potem , bo teraz nie mogę .

[radagast]

Prosta \(l_1\) przechodzi przez punkt \((0,0,0)\).
Wiemy już , że \(l_1 \parallel l_2 \parallel \left[1,5,-3 \right]\)
płaszczyzna prostopadła do \(l_1\) i \(l_2\) ma więc równanie postaci \(x+5y-3x+D=0\), a ta przechodząca przez \((0,0,0)\) to \(x+5y-3x=0\)
Teraz należy ją przeciąć z \(l_2\) i to jest robota dla Ciebie:
Rozwiąż układ równań:
\(\begin{cases} x+5y-3x=0\\2x+y-z-3=0\\x-y+2z-2=0\end{cases}\)
otrzymasz punkt przecięcia prostej \(l_2\) ze wspomnianą płaszczyzną.

Potem już tylko znajdziesz odległość otrzymanego punktu od punktu (0,0,0) i to będzie odległość tych prostych. Powodzenia. Napisz co Ci wyszło.

[Panko]

jeżeli są równoległe to odległość pomiędzy nimi możesz policzyć ze wzoru
\(d= \frac{ | \begin{vmatrix}i& j&k \\ x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\l&m&n \end{vmatrix} |}{ \sqrt{l^2+m^2+n^2} }\)
Legenda ; \((x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)\) --dowolny punkt należący do pierwszej prostej\(\\) \(l1\)
\((x_1,y_1,z_1) =( 0,8,5 )\) ---dowolny punkt należący do drugiej prostej\(\\) \(l2\), jak go wybrano , przyjąłem \(x=0\) i z układu doliczyłem pozostałe .
wektor kierunkowy prostej \(l2\) = [l,m,n]=[1,-5.-3]
\(i,j,k\) --wersory osi
.................................................................................................
warto rozumieć jak tę odległość obliczyć

[radagast]

warto rozumieć jak tę odległość obliczyć

właśnie dlatego zaproponowałam pracę jak wyżej (zamiast podstawiania do gotowego wzoru). Zaraz jeszcze dołożę obrazek.

[radagast]

ScreenHunter_1737.jpg (6.11 KiB) Przejrzano 2334 razy

punkt \((x_0,y_0,z_0)\) to punkt, który wyznaczysz rozwiązując układ równań.