Proste równoległe czy proste skośne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 09:57
Podziękowania: 88 razy

Proste równoległe czy proste skośne

Post autor: NieRozumiem85 » 28 gru 2016, 14:49

Czy proste są równoległe czy skośne? Oblicz odległość między nimi:

l1: \(\begin{cases} 2x+y-z=0\\ x+2y-3z=0\end{cases}\)

l2:\(\begin{cases} 2x+y-z-3=0\\x-y+2z-2=0\end{cases}\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 28 gru 2016, 18:50

l1:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,2,-3\right] = \left[-1,-7,3 \right]\)
l2:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,-1,2\right] = \left[1,-5,-3 \right]\)

\(\left[-1,-7,3 \right] \nparallel \left[1,-5,-3 \right]\) no to skośne.

NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 09:57
Podziękowania: 88 razy

Re:

Post autor: NieRozumiem85 » 29 gru 2016, 11:06

radagast pisze:l1:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,2,-3\right] = \left[-1,-7,3 \right]\)
l2:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,-1,2\right] = \left[1,-5,-3 \right]\)

\(\left[-1,-7,3 \right] \nparallel \left[1,-5,-3 \right]\) no to skośne.
A jak obliczyć odległość między nimi?

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 29 gru 2016, 11:35

A prawda ! zapomniałam ! Pomyślę , pewnie się uda :)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Re: Proste równoległe czy proste skośne

Post autor: radagast » 29 gru 2016, 12:20

\(\left[-1,-7,3 \right] \times \left[1,-5,-3 \right]= \left[ 36,0,12\right] \parallel \left[3,0,1 \right]\)
No to płaszczyzna \(3x+z=0\) jest równoległa do \(l_2\), zawiera \(l_1\)
Wystarczy teraz znaleźć odległość \(l_2\) od tej płaszczyzny (czyli odległość dowolnego punktu \(l_2\) od tej płaszczyzny)
\(\left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3},1 \right) \in l_2\)
\(d= \frac{|3 \cdot \frac{4}{3}+0 \cdot \frac{4}{3}+1| }{ \sqrt{3^2+0^2+1^2} } = \frac{5}{ \sqrt{10} } = \frac{ \sqrt{10} }{2}\)

NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 09:57
Podziękowania: 88 razy

Re:

Post autor: NieRozumiem85 » 31 gru 2016, 11:17

radagast pisze:l1:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,2,-3\right] = \left[-1,-7,3 \right]\)
l2:\(\left[ 2,1,-1\right] \times \left[ 1,-1,2\right] = \left[1,-5,-3 \right]\)

\(\left[-1,-7,3 \right] \nparallel \left[1,-5,-3 \right]\) no to skośne.
Mam pytanie do wektora prostej l1. Czy na pewno jest poprawnie obliczony? Ponieważ wedługmoich wyliczeń wychodzi [-1,5,3]

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 31 gru 2016, 13:44

Tak, masz rację. Pomyliłam się . A więc równoległe :).

NieRozumiem85
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 162
Rejestracja: 30 sty 2016, 09:57
Podziękowania: 88 razy

Re:

Post autor: NieRozumiem85 » 31 gru 2016, 13:48

radagast pisze:Tak, masz rację. Pomyliłam się . A więc równoległe :).
A jak zatem obliczyć odległość między dwoma prostymi równoległymi?

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 31 gru 2016, 14:11

To będzie nieco łatwiejsze ale jak widzisz ja z rachunków słaba jestem , to Ci napiszę jak , a Ty sobie policzysz ale to potem , bo teraz nie mogę .

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 31 gru 2016, 18:03

Prosta \(l_1\) przechodzi przez punkt \((0,0,0)\).
Wiemy już , że \(l_1 \parallel l_2 \parallel \left[1,5,-3 \right]\)
płaszczyzna prostopadła do \(l_1\) i \(l_2\) ma więc równanie postaci \(x+5y-3x+D=0\), a ta przechodząca przez \((0,0,0)\) to \(x+5y-3x=0\)
Teraz należy ją przeciąć z \(l_2\) i to jest robota dla Ciebie:
Rozwiąż układ równań:
\(\begin{cases} x+5y-3x=0\\2x+y-z-3=0\\x-y+2z-2=0\end{cases}\)
otrzymasz punkt przecięcia prostej \(l_2\) ze wspomnianą płaszczyzną.

Potem już tylko znajdziesz odległość otrzymanego punktu od punktu (0,0,0) i to będzie odległość tych prostych. Powodzenia. Napisz co Ci wyszło.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Re: Proste równoległe czy proste skośne

Post autor: Panko » 31 gru 2016, 18:39

jeżeli są równoległe to odległość pomiędzy nimi możesz policzyć ze wzoru
\(d= \frac{ | \begin{vmatrix}i& j&k \\ x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\l&m&n \end{vmatrix} |}{ \sqrt{l^2+m^2+n^2} }\)
Legenda ; \((x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)\) --dowolny punkt należący do pierwszej prostej\(\\) \(l1\)
\((x_1,y_1,z_1) =( 0,8,5 )\) ---dowolny punkt należący do drugiej prostej\(\\) \(l2\), jak go wybrano , przyjąłem \(x=0\) i z układu doliczyłem pozostałe .
wektor kierunkowy prostej \(l2\) = [l,m,n]=[1,-5.-3]
\(i,j,k\) --wersory osi
.................................................................................................
warto rozumieć jak tę odległość obliczyć

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Re: Proste równoległe czy proste skośne

Post autor: radagast » 31 gru 2016, 18:53

Panko pisze: warto rozumieć jak tę odległość obliczyć
właśnie dlatego zaproponowałam pracę jak wyżej (zamiast podstawiania do gotowego wzoru). Zaraz jeszcze dołożę obrazek.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16755
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7073 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 31 gru 2016, 19:07

ScreenHunter_1737.jpg
punkt \((x_0,y_0,z_0)\) to punkt, który wyznaczysz rozwiązując układ równań.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.