Proszę o pomoc w tych trzech zadankach bo sama nie potrafię ich rozwiązać:
1) Z wycinka koła o promieniu 16 i kącie środkowym 135 ° utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz wysokość tego stożka.
2)Odpowiednio zwijając prostokąt o bokach 9 i 16π, można utworzyć powierzchnię boczną walca o wysokości 9 lub walca o wysokości 16π. Który z tych walców ma większą objętość?
3) Trapez prostokątny o podstawach 5 i 8 oraz kącie ostrym 45° obraca się wokół krótszej podstawy. Oblicz objętość powstałej bryły obrotowej.
stożek, walec
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
2.
Większą objętość będzie miał ten walec, dla którego przyjmiemy większy promień, czyli ten o wysokości 9.
1)
\(H=9\\2\pi\ r=16\pi\\r=8\\V_1=\pi\cdot64\cdot9=576\pi\)
\(H=16\pi\\2\pi\ r=9\\r=\frac{9}{2\pi}\\V_2=\pi\cdot(\frac{9}{2\pi})^2\cdot16\pi=\pi\cdot\frac{81}{4\pi^2}\cdot16\pi=324\)
\(V_1>V_2\)
Większą objętość będzie miał ten walec, dla którego przyjmiemy większy promień, czyli ten o wysokości 9.
1)
\(H=9\\2\pi\ r=16\pi\\r=8\\V_1=\pi\cdot64\cdot9=576\pi\)
\(H=16\pi\\2\pi\ r=9\\r=\frac{9}{2\pi}\\V_2=\pi\cdot(\frac{9}{2\pi})^2\cdot16\pi=\pi\cdot\frac{81}{4\pi^2}\cdot16\pi=324\)
\(V_1>V_2\)
3.
Najpierw obliczymy potrzebną wysokość trapezu. Jeśli poprowadzimy wysokość trapezu (równą krótszemu ramieniu) z wierzchołka kąta rozwartego, to otrzymamy trójkąt prostokątny o kącie \(45^o\), czyli trójkąt równoramienny. Wysokość trapezu ma więc długość równą 3.
Przy tym obrocie otrzymujemy walec o promieniu podstawy równym 3 i wysokości równej 8, z wydrążonym stożkiem o takiej samej podstawie i wysokości 3.
\(V_b=\pi\cdot3^2\cdot8-\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot3=72\pi-9\pi=63\pi\)
Najpierw obliczymy potrzebną wysokość trapezu. Jeśli poprowadzimy wysokość trapezu (równą krótszemu ramieniu) z wierzchołka kąta rozwartego, to otrzymamy trójkąt prostokątny o kącie \(45^o\), czyli trójkąt równoramienny. Wysokość trapezu ma więc długość równą 3.
Przy tym obrocie otrzymujemy walec o promieniu podstawy równym 3 i wysokości równej 8, z wydrążonym stożkiem o takiej samej podstawie i wysokości 3.
\(V_b=\pi\cdot3^2\cdot8-\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot3=72\pi-9\pi=63\pi\)
Jestem Ci ogromnie wdzięczna za rozwiązanie mi tych zadań. Czy mogłabyś pomóc mi jeszcze z tymi:
1) Kule o promieniu R przecięto płaszczyzną oddalaną od środka kuli o 1/4R. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
2) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a i kącie rozwartym α . Krótsza przekątna tego graniastosłupa o długości d tworzy z podstawą kąt o mierze β. Jaka objętość ma ten graniastosłup?
3) Emalia z puszki o pojemności 0,8l pomalowano 20 m2 powierzchni. Oblicz ile milimetrów ma otrzymana warstwa emalii.
4) Oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym.
1) Kule o promieniu R przecięto płaszczyzną oddalaną od środka kuli o 1/4R. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
2) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a i kącie rozwartym α . Krótsza przekątna tego graniastosłupa o długości d tworzy z podstawą kąt o mierze β. Jaka objętość ma ten graniastosłup?
3) Emalia z puszki o pojemności 0,8l pomalowano 20 m2 powierzchni. Oblicz ile milimetrów ma otrzymana warstwa emalii.
4) Oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym.
1.
r- promień otrzymanego przekroju
Narysuj przekrój osiowy kuli przechodzący przez środek koła, który jest przekrojem. Na tym przekroju otrzymujemy cięciwę o długości 2r, która od środka koła odległa jest o \(\frac{1}{4}R\). Poprowadź promień koła do końca tej cięciwy- masz trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(r^2+(\frac{1}{4}R)^2=R^2\\r^2=\frac{15}{16}R\)
Pole tego przekroju:
\(P_p=\pi\cdot\frac{15}{16}R^2=\frac{15}{16}\pi\ R^2\)
r- promień otrzymanego przekroju
Narysuj przekrój osiowy kuli przechodzący przez środek koła, który jest przekrojem. Na tym przekroju otrzymujemy cięciwę o długości 2r, która od środka koła odległa jest o \(\frac{1}{4}R\). Poprowadź promień koła do końca tej cięciwy- masz trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(r^2+(\frac{1}{4}R)^2=R^2\\r^2=\frac{15}{16}R\)
Pole tego przekroju:
\(P_p=\pi\cdot\frac{15}{16}R^2=\frac{15}{16}\pi\ R^2\)
4.
Kąt, o którym mowa, to kąt między krawędzią boczną (o długości a) i promieniem okręgu opisanego na podstawie (\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
W trójkącie prostokątnym, w którym a jest przeciwprostokątną, przyprostokątne to R i H- wysokośc czworościanu.
\(H^2+R^2=a^2\\H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=a^2\\H^2=\frac{6}{9}a^2\\H=\frac{\sqrt{6}}{3}a\\tg\alpha=\frac{H}{R}=\frac{a\sqrt{6}}{3}:\frac{a\sqrt{3}}{3}=\sqrt{2}\)
Kąt, o którym mowa, to kąt między krawędzią boczną (o długości a) i promieniem okręgu opisanego na podstawie (\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
W trójkącie prostokątnym, w którym a jest przeciwprostokątną, przyprostokątne to R i H- wysokośc czworościanu.
\(H^2+R^2=a^2\\H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=a^2\\H^2=\frac{6}{9}a^2\\H=\frac{\sqrt{6}}{3}a\\tg\alpha=\frac{H}{R}=\frac{a\sqrt{6}}{3}:\frac{a\sqrt{3}}{3}=\sqrt{2}\)