Kula

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
BobinsonCrusoe
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 04 gru 2016, 17:56

Kula

Post autor: BobinsonCrusoe » 04 gru 2016, 18:01

Punkt P na powierzchni kuli połączono odcinkami z punktami A, B i C, które również również leżą na powierzchni tej kuli. Długości cięciw PA, PB i PC są takie same i równe promieniowi kuli, a każdy z kątów między tymi cięciwami ma miarę α. Oblicz cosα.

Sprawa wygląda tak : stwierdziłam, że punkty A,B,C i P tworzą ostrosłup prawidłowy trójkątny, o krawędziach bocznych o długości r (r−promień kuli) i krawędziach podstawy o długości x. Jednakże jak starałam się coś policzyć to się zerowało wszystko. Help

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Post autor: Panko » 04 gru 2016, 19:38

Dana : \(R\) --promień kuli
Widzę parę stożków o wspólnej podstawie , wpisane w te kulę.
Tworząca pierwszego stożka ma długość \(R\)
Tworząca drugiego stożka to \(R \cdot \sqrt{3}\) .
Oznaczmy \(x\) - krawędź podstawy ostrosłupa \(\Delta\) - katnego , tego o którym piszesz.( on jest wpisany w ten dobry stożek o tworzacej \(R\)
wtedy z tw kosinusów jest \(x^2= 2R^2( 1- \cos \alpha )\)
robimy przekrój kuli płaszczyzną tak aby dało koło wielkie zawierające jedną tworzącą stożka : \(R\) i środek kuli
dostajemy deltoid o bokach : \(R,R \sqrt{3}\) i przekatnych : \(2R, 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{x \sqrt{3} }{2}\)
z tw Ptolemeusza jest : \(R \cdot R \sqrt{3} + R \cdot R \sqrt{3}=2R \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{x \sqrt{3} }{2}\)
stąd \(x=\frac{3}{2} \cdot R\)

podstawiając do \(x^2= 2R^2( 1- \cos \alpha )\) jest \(\frac{9}{8}R^2=R^2(1- \cos \alpha )\)
\(\cos \alpha =-\frac{1}{8}\)
..........................................................
ale pewny nie jestem , bo ...

BobinsonCrusoe
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 04 gru 2016, 17:56

Re: Kula

Post autor: BobinsonCrusoe » 04 gru 2016, 22:02

Sprytnie, tylko jak ci wyszło, że tworząca drugiego stożka wynosi R pierwiastka z 3?

BobinsonCrusoe
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 04 gru 2016, 17:56

Post autor: BobinsonCrusoe » 04 gru 2016, 22:29

Okej już wiem :P