graniastosłup prosty

[roza15]

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt ABC, w którym kąt BAC=30, kąt ACB=105 i długość wysokości Cc wynosi 2 cm. Przekątna ściany bocznej o najmniejszym polu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt alfa=45. Oblicz objętość tego graniastosłupa. odp.2+2pierwiastki z 3

[irena]

Wysokość tego trójkąta nazwałam CD. Wysokość ta dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty: ADC i CDB. Dzieli też kąt ACB na dwa kąty. Ponieważ \(| \angle BAC|=30^\), więc \(| \angle ACD|=60^o\), więc \(| \angle DCB|=45^o\). wiemy, że \(|CD|=2cm\).
W trójkącie ADC:
\(\frac{|AD|}{|CD|}=ctg30^o\\\frac{|AD|}{2}=\sqrt{3}\\|AD|=2\sqrt{3}cm\\\frac{|DC|}{|AC|}=sin30^o\\\frac{2}{|AC|}=\frac{1}{2}\\|AC|=4cm\)
W trójkącie CDB:
\(\frac{|DB|}{|CD|}=tg45^o\\\frac{|DB|}{2}=1\\|DB|=2cm\\\frac{|CD|}{|BC|}=cos45^o\\\frac{2}{|BC|}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\|BC|=2\sqrt{2}cm\).

Najkrótszy bok tego trójkąta to BC. Nazwę prostokąt, który jest najmniejszą ścianą BB'C'C (ściana zbudowana na boku BC).
W trójkącie BCC':
\(\frac{|CC'|}{|BC|}=tg45^o\\\frac{|CC'|}{2\sqrt{2}}=1\\|CC'|=2\sqrt{2}cm\)
Odcinek CC' jest krawędzią boczną, czyli wysokością tego graniastosłupa.
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}|AB|\cdot|CD|\\P_p=\frac{1}{2}(2\sqrt{3}+2)\cdot2=(2\sqrt{3}+2)cm^2\)

Objętość:
\(V=(2\sqrt{3}+2)\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{6}+4\sqrt{2}=4(\sqrt{6}+\sqrt{2})cm^3\)

Wynik wyszedł inny.

Ale nie wiem, czy ta wysokość, którą podałaś to nie jest przypadkiem wysokość graniastosłupa. I wtedy długości boków będą inne.:

\(|CC'|=2cm\\|BC|=2cm\\|BD|=|CD|=\sqrt{2}cm\\|AD|=\sqrt{6}cm\\|AC|=2\sqrt{2}cm\)

Wtedy:
\(P_p=\frac{1}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=\frac{1}{2}(2\sqrt{3}+2)=\sqrt{3}+1\\V=(\sqrt{3}+1)\cdot2=(2\sqrt{3}+2)cm^3\)

Długości odcinków obliczysz z zależności, które wcześniej podałam- to nietrudne.