Na kuli opisano stożek Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wynosi 3:4
a) Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku przekroju osiowego stożka
b) Oblicz stosunek objętości kuli do objętości stożka
stożek opisany na kuli
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Na przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny opisany na okręgu. Podstawa tego trójkąta to średnica podstawy stożka, ramiona to tworzące stożka, a wysokość to wysokość stożka.
Oznaczam:
r- promień podstawy stożka
R- promień kuli
\(\alpha\)- kąt rozwarcia stożka (ten, którego miarę masz obliczyć)
\(\beta\)- kąt przy podstawie trójkąta, czyli kąt nachylenia tworzącej do podstawy stożka
\(\frac{\pi\ r^2}{4\pi\ R^2}=\frac{3}{4}\\\frac{r^2}{R^2}=3\\\frac{r}{R}=\sqrt{3}\)
Jeśli poprowadzisz odcinek łączący środek koła na rysunku z wierzchołkiem trójkąta, to jest to część dwusiecznej kąta przy podstawie trójkąta.
\(ctg(\frac{\beta}{2})=\frac{r}{R}\\ctg(\frac{\beta}{2})=\sqrt{3}\\\frac{\beta}{2}=30^o\\\beta=60^o\)
Czyli trójkąt, który jest przekrojem osiowym stożka jest trójkątem równobocznym.
a)
Kąt ten ma miarę \(60^o\).
b)
Jesli r- promień stożka, to 2r- to długość boku trójkąta, \(H=r\sqrt{3}\) oraz \(R=\frac{1}{3}H=\frac{\sqrt{3}}{3}r\)
Objętość kuli:
\(\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{3}}{3}r)^3=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi\ r^3\)
Objętość stożka:
\(\frac{1}{3}\pi\cdot\ r^2\cdot\ r\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\ r^3\)
\(\frac{V_k}{V_s}=\frac{4\sqrt{3}}{27}:\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{9}\)
Oznaczam:
r- promień podstawy stożka
R- promień kuli
\(\alpha\)- kąt rozwarcia stożka (ten, którego miarę masz obliczyć)
\(\beta\)- kąt przy podstawie trójkąta, czyli kąt nachylenia tworzącej do podstawy stożka
\(\frac{\pi\ r^2}{4\pi\ R^2}=\frac{3}{4}\\\frac{r^2}{R^2}=3\\\frac{r}{R}=\sqrt{3}\)
Jeśli poprowadzisz odcinek łączący środek koła na rysunku z wierzchołkiem trójkąta, to jest to część dwusiecznej kąta przy podstawie trójkąta.
\(ctg(\frac{\beta}{2})=\frac{r}{R}\\ctg(\frac{\beta}{2})=\sqrt{3}\\\frac{\beta}{2}=30^o\\\beta=60^o\)
Czyli trójkąt, który jest przekrojem osiowym stożka jest trójkątem równobocznym.
a)
Kąt ten ma miarę \(60^o\).
b)
Jesli r- promień stożka, to 2r- to długość boku trójkąta, \(H=r\sqrt{3}\) oraz \(R=\frac{1}{3}H=\frac{\sqrt{3}}{3}r\)
Objętość kuli:
\(\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{3}}{3}r)^3=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi\ r^3\)
Objętość stożka:
\(\frac{1}{3}\pi\cdot\ r^2\cdot\ r\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\ r^3\)
\(\frac{V_k}{V_s}=\frac{4\sqrt{3}}{27}:\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{9}\)