punkt wewnątrz kwdratu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
maxkor
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 126
Rejestracja: 07 cze 2015, 11:55
Podziękowania: 44 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

punkt wewnątrz kwdratu

Post autor: maxkor »

Punkt \(X\) jest wewnątrz kwdratu \(PQRS\). X jest \(25 m\) oddalony od R, \(51 m\) od S oraz \(53 m\) od P. Odległogość X od kazdego z boków kwadratu jest liczbą naturalną wyrażoną w metrach. Oblicz pole trójkta \(PQX\)?
Załączniki
untitled.JPG
untitled.JPG (4.87 KiB) Przejrzano 1767 razy
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Post autor: Panko »

Wprowadzając układ współrzędnych tak ,że \(S=(0,0)\)
oraz bok kwadratu to \(a \in N\) , ( z warunku zadania)
oraz punkt \(X=(x,y)\) : , \(x,y \in N\)
jest \(R=(a,0),Q=(a,a),P=(0,a)\).
Wtedy należy rozwiązać układ równań w dziedzinie naturalnej :
\(\begin{cases}x^2+y^2=51^2\\(x-a)^2+y^2=25^2\\ x^2+(y-a)^2=53^2\end{cases}\)
Z dwóch pierwszych odejmując stronami jest : \((x-a)^2-x^2=25^2-51^2\) , stąd \(x=\frac{a^2+1976}{2a}\).
Odejmując od trzeciego pierwsze jest :\((y-a)^2-y^2=53^2-51^2\) , stąd \(y=\frac{a^2-208}{2a}\)
Podstawiając do pierwszego dostajemy równanie wielomianowe : \((a^2+1976)^2+(a^2-208)^2=(102a)^2\)
Co daje po rachunkach równanie dwukwadratowe i jego pierwiastki dodatnie:
\(a=52,a= \sqrt{730}\)
Stąd \(a=52\) i dalej już prosto daje : \(x=45,y=24\)
Stąd odległość punktu \(X\) od boku \(PQ\) jest równa =\(a-y=28\)
Stąd pole \(\Delta PQX=\frac{ 52 \cdot 28}{2}\)=\(728\)
ODPOWIEDZ