Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ewammm
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 23
Rejestracja: 04 mar 2010, 17:03

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: ewammm » 04 mar 2010, 21:46

Suma długości wysokości podstawy i wysokości ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 2. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa, dla której ma on największe pole powierzchni całkowitej.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 05 mar 2010, 08:44

h- wysokość podstawy ostrosłupa

\(h_b\)- wysokość ściany bocznej

a- krawędź podstawy

\(h+h_b=2\\h_b=2-h\\h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\h_b=2-\frac{a\sqrt{3}}{2}\\P_c=\frac{1}{2}a\cdot\ h+3\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ h\\P(a)=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}a(2-\frac{a\sqrt{3}}{2})\\P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3a-\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\\P(a)=-\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+3a\)

Funkcja P(a) jest funkcją kwadratową z ujemnym współczynnikiem przy \(a^2\). Ma ona największą wartość w wierzchołku paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

\(a_w=\frac{-3}{2\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\sqrt{3}\)

Największe pole powierzchni ma ten ostrosłup dla \(a=\sqrt{3}\).