Trójkąt równoboczny - wykazywanie

[Trujkontny]

W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD i BE. Kąty CAD i CBE mają miary 30 stopni. Wykazać, że trójkąt ABC jest równoboczny.
Bardzo prosiłbym o pomoc, męczę się z tym zadaniem i mi nic nie wychodzi

[kuba [6]]

Zauważ, że \(\angle AEB= \angle ADB= \gamma\), \(\angle DAB= \angle ADE= \alpha\) oraz \(\angle ABE= \angle BED= \beta\).
Z twierdzenia sinusów dla trójkątów odpowiednio \(BDE\), \(AED\):
\(\frac{DE}{sin(30^ \circ )}= \frac{ \frac{BC}{2} }{sin \beta} \\
\frac{DE}{sin(30^ \circ )}= \frac{ \frac{AC}{2} }{sin \alpha}\)
czyli
\(\frac{ \frac{BC}{2} }{sin \beta}=\frac{ \frac{AC}{2} }{sin \alpha}\)(1).
Analogicznie, z tw. sinusów dla \(ABD\), \(ABE\) mamy:
\(\frac{AB}{sin \gamma}= \frac{ \frac{BC}{2} }{sin \alpha} \\
\frac{AB}{sin \gamma}= \frac{ \frac{AC}{2} }{sin \beta}\)
czyli
\(\frac{ \frac{BC}{2} }{sin \alpha}=\frac{ \frac{AC}{2} }{sin \beta}\)(2).
Korzystając z (1) i (2) dostajemy:
\(sin \alpha= sin \beta\).
Stąd: \(\alpha=180^ \circ - \beta\) (co daje sprzeczność) lub \(\alpha= \beta\).
Z tej równości otrzymujemy: \(\angle A= \angle B\), innymi słowy \(AC=BC\).
Ponownie skorzystamy z tw. sinusów, tym razem dla trójkąta \(ADC\):
\(\frac{ \frac{BC}{2} }{sin(30^ \circ )}= \frac{AC}{sin(ADC)} \\
AC=\frac{AC}{sin(ADC)}\)
Zatem \(sin(ADC)=1\), widać więc, że \(\angle ADC=90^ \circ\).
Środkowa \(AD\) jest zarazem wysokością, musi zachodzić: \(AC=AB\).
Ostatecznie: \(AB=BC=AC\), czyli trójkąt ten jest równoboczny, co mieliśmy dowieść.