Walec wpisany w stożek

[newbluejeans]

Mam pewien kłopot z zadaniem tej treści:
W stożek, którego przekrojem jest trójkąt równoboczny, wpisano walec o największej objętości. Udowodnij, że objętość tego walca jest równa objętości kuli wpisanej w ten stożek.

W odpowiedziach pojawia się zapis, że r należy (0,a), gdzie a to tworząca stożka, r to promień walca. Z funkcji tg obliczyłam wysokość walca \(\ h=\sqrt{3}( \frac{a}{2}-r)\)
Nie bardzo rozumiem skąd ta dziedzina. Proszę o pomoc

[irena]

Jeśli a to bok trójkąta (czyli tworząca oraz średnica podstawy stożka), r- promień podstawy walca, to podstawa walca zawarta jest w podstawie stożka (promień podstawy stożka to połowa boku trójkąta, czyli połowa a) i musi być spełniony warunek:
\(2r<a\ \ i\ \ r>0\)
czyli
\(r\in(0;\ \frac{a}{2})\)

H- wysokość walca (policzona dobrze)

\(H=\frac{\sqrt{3}}{2}(a-2r)\)

Objętość walca:
\(V_w=\pi r^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\pi(ar^2-2r^3)\)

\(V(r)=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}(ar^2-2r^3)\\V'=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}(2ar-6r^2)\\V'=0\\2r(a-3r)=0\\r>0\\a-3r=0\\r=\frac{1}{3}a\)

Dla \(0<r<\frac{1}{3}a\) jest \(V'(r)>0\), a dla \(\frac{1}{3}a<r<\frac{1}{2}a\) jest \(V'(r)<0\).
Czyli dla \(r=\frac{1}{3}a\) funkcja V(r) ma maksimum.

\(H=\frac{\sqrt{3}}{2}(a-\frac{2}{3}a)=\frac{\sqrt{3}}{6}a\)

Objętość walca:
\(V_w=\pi\cdot\frac{1}{9}a^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{\sqrt{3}}{54}\pi a^3\)

R- promień kuli wpisanej w stożek (promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a.

\(R=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{a\sqrt{3}}{6})^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{3\sqrt{3}a^3}{216}=\frac{\sqrt{3}}{54}\pi a^3\)

\(V_w=V_k\)

[newbluejeans]

To znaczy, że dziedzina, która pojawia się w odpowiedziach w książce, jest błędna?
Tylko z tym miałam kłopot

[pozdrawiam]

[quote="irena"]Jeśli a to bok trójkąta (czyli tworząca oraz średnica podstawy stożka), r- promień podstawy walca, to podstawa walca zawarta jest w podstawie stożka (promień podstawy stożka to połowa boku trójkąta, czyli połowa a) i musi być spełniony warunek:
\(2r<a\ \ i\ \ r>0\)
czyli
\(r\in(0;\ \frac{a}{2})\)

H- wysokość walca (policzona dobrze)

\(H=\frac{\sqrt{3}}{2}(a-2r)\)

Objętość walca:
\(V_w=\pi r^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\pi(ar^2-2r^3)\)




Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć? Nie potrafię tego zrozumieć: wzór na Vw= \pi r^2*H i H walca jest równy \frac{ \sqrt{3} }{2} (a-2r). Dlaczego więc przy objęctości walca pojawia się (ar^2-2r^3)?

[pozdrawiam]

Jeżeli to co napisałam,nie jest czytelnie to mogę spróbować poprawić. Tylko help