Kąty w ostrosłupie

[matematykier]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ma miarę \(\beta\), zaś kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę \(2\alpha\). Wykaż, że \(\sin \beta \cdot \tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

[radagast]

ScreenHunter_1286.jpg (16.47 KiB) Przejrzano 1609 razy

\(\frac{a}{2x}=\tg \alpha \\ \frac{H}{l} = \sin \beta\)
I jeszcze: jakby tak chcieć policzyć pole trójkąta ABS, to można to zrobić na dwa sposoby: albo \(\frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3} }2{H}\) albo \(\frac{1}{2}lx\)
Zatem
\(\frac{a \sqrt{3} }{2}H=lx\) czyli \(\frac{H}{l}= \frac{2x}{a \sqrt{3} }\)

Teraz policzmy: \(\sin \beta \tg \alpha =\frac{a}{2x} \cdot \frac{H}{l}=\frac{a}{2x} \cdot \frac{2x}{a \sqrt{3} }= \frac{1 }{ \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}\)

CBDO