Ostrosłup o podstawie trójkąta prostokątnego równoramiennego

[pankleks1000]

Podstawą ostrosłupa prostego ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC, w którym przeciwprostokątna AC ma długość 2a(a>0). Każda krawędź boczna ma długość 3a. Oblicz objętość tego ostrosłupa

[wrobel93b]

Skoro podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny i mają równe krawędzie, to spodkiem wysokości jest środek średnicy okręgu opisanego na podstawie, czyli w tym wypadku nasza przeciwprostokątna \(|AC|\).

Przyprostokątne podstawy w tym wypadku wynoszą: \(a\sqrt{2}\)
\(P_p = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{2a^2}{2} = a^2\)

Wysokość ostrosłupa to po prostu twierdzenie Pitagorasa:

\(H^2 + (\frac{2a}{2})^2 = (3a)^2\)
\(H^2 = 9a^2 - a^2, H > 0\)
\(H = \sqrt{8a^2} = 2\sqrt{2}a\)

\(V = \frac{1}{3} P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot 2\sqrt{3}a = \frac{2\sqrt{2}}{3} a^3\)

[korki_fizyka]

\(V = \frac{ \sqrt{77} }{9}a^3\)