Stereometria- rozszerzenie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
bestrong17
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 21 lut 2016, 14:51
Podziękowania: 9 razy
Płeć:

Stereometria- rozszerzenie

Post autor: bestrong17 »

1. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym dłuższa przekątna, dłuższa przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny o najmniejszym wyrazie 4. Oznacza to, że krawędź podstawy jest równa:
A.\(\sqrt{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} }\) B.\(2 \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} }\) C. \(4. \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} }\) D. \(6 \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} }\)

2. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o kątach 30 stopni, 30 stopni i promieniu 8 okręgu opisanego na tym trójkącie. Spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a kąt między wysokością ostrosłupa i krawędzią boczną jest równy 60 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa.

3.Krawędzie podstawy i krawędź boczna (w tej kolejności) prostopadłościanu tworzą rosnący ciąg arytmetyczny o najmniejszym wyrazie 1. Objętość prostopadłościanu jest równa 3. Przekątna prostopadłościanu ma długość:
A. \(\frac{ \sqrt{29} }{8}\) B.\(\frac{ \sqrt{29} }{4}\) C.\(\frac{ \sqrt{29} }{2}\) D.\(\sqrt{29}\)

4. Dany jest stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny o boku 6. W stożek wpisany jest walec w ten sposób, że podstawa walca jest zawarta w podstawie stożka, druga podstawa jest zawarta w powierzchni bocznej stożka. Wiadomo, że stosunek promienia jego podstawy do wysokości jest równy \(\frac{1}{3}\). Oblicz wysokość walca.

5. Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wszystkich krawędziach jednakowej długości jest równa V=9. Oblicz długość krawędzi ostrosłupa. Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do 3 miejsc po przecinku.

Co najwyżej 5 zadań w jednym temacie- patrz Regulamin
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
a- krawędź podstawy
b- krawędź boczna
d- dłuższa przekątna podstawy
D- dłuższa przekątna graniastosłupa

b=4
d=2a

(b, d, D)- ciąg geometryczny

\(bD=d^2\\4D=(2a)^2\\4D=4a^2\\D=a^2\)

z twierdzenia Pitagorasa:
\(b^2+d^2=D^2\\4^2+(2a)^2=(a^2)^2\\16+4a^2=a^4\\a^4-4a^2-16=0\\\Delta=16+64=80\\a^2=\frac{4-4\sqrt{5}}{2}<0\ \vee\ a^2=\frac{4+4\sqrt{5}}{2}=4\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\a=2\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\B.\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
\(180^0-2\cdot30^0=120^0\)

Narysuj trójkąt równoramienny ABC (podstawę ostrosłupa), w którym AC i BC to ramiona, AB to podstawa trójkąta.
Kąt ACB ma miarę 120 stopni.
Poprowadź wysokość CD na podstawę AB.

\(|AC|=|BC|=a\\|BD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\|AB|=a\sqrt{3}\)

Pole tego trójkąta jest równe polu trójkąta równobocznego o boku a
\(P_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

R=8 - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Z pola tego trójkąta:
\(P_{ABC}=\frac{a\cdot a\cdot a\sqrt{3}}{4\cdot8}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\\frac{a^3\sqrt{3}}{32}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\a=8\)

\(P_{ABC}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\)

b- krawędź boczna
H- wysokość ostrosłupa
Odcinki: H, R, b tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej b i kącie 60 stopni między H i b

\(\frac{8}{H}=tg60^0=\sqrt{3}\\H=\frac{8}{\sqrt{3}}\)

Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}\cdot16\sqrt{3}\cdot\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{128}{3}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

3.
a, b, c- krawędzie prostopadłościanu
(a, b, c)- ciąg arytmetyczny
a=1

\(1+c=2b\\c=2b-1\\V=abc=3\\1\cdot b(2b-1)=3\\2b^2-b-3=0\\\Delta=1+24=25\\b=\frac{1-5}{4}<0\ \vee\ b=\frac{1+5}{4}=\frac{3}{2}\\c=2\cdot\frac{3}{2}-1=2\)

p- przekątna prostopadłościanu

\(p^2=a^2+b^2+c^2=1^2+(\frac{3}{2})^2+2^2=1+\frac{9}{4}+4=\frac{4+9+16}{4}=\frac{29}{4}\\p=\frac{\sqrt{29}}{2}\\C.\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Zad.5
Ostrosłup ma w podstawie trójkąt równoboczny i wszystkie krawędzie są równe,więc jest to czworościan foremny.
Wzór na objętość czworościanu foremnego o krawędzi a:
\(V= \frac{a^3 \sqrt{2} }{12}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;\;\;V=9\\ \frac{a^3 \sqrt{2} }{12}=9\\a^3 \sqrt{2}=108\\a^3= \frac{108}{ \sqrt{2} }= \frac{108 \sqrt{2} }{2}=54 \sqrt{2}\)
\(a^3 \approx 76,3675\\a \approx 4,243\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

4.
Narysuj trójkąt równoboczny ABC o boku 6.
Poprowadź wysokość CD trójkąta na bok AB.
Wpisz w ten trójkąt prostokąt KLMN tak, żeby bok KL zawierał się w odcinku AB, punkt M leżał na boku BC, a N- na boku AC.
Oznacz P- środek boku MN, punkt przecięcia odcinków MN i CD.
Trójkąty prostokątne BCD i BML są podobne

\(|BD|=3\\|CD|=r\\|BC|=3-r\\|LM|=H=3r\\|PM|=r\\|CD|=3\sqrt{3}\)

\(\frac{3r}{3-r}=\frac{3\sqrt{3}}{3}\\3r=\sqrt{3}(3-r)\\3r=3\sqrt{3}-r\sqrt{3}\\r(3+\sqrt{3})=3\sqrt{3}\\r(9-3)=3\sqrt{3}(3+\sqrt{3})\\6r=9\sqrt{3}+9\\r=\frac{3\sqrt{3}+3}{2}\\H=\frac{9\sqrt{3}+9}{2}\)
ODPOWIEDZ