Dany jest czworościan foremny o wysokości H i krawędzi długości a.
a) Wykaż że \(3H^2=2a^2\)
b) wiedząc dodatkowo, że wysokość jest o 1 krótsza od krawędzi oblicz a. Wynik przedstaw w postaci \(a+b \sqrt{c}\)
czworościan foremny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
a)
Spodek wysokości czworościanu dzieli h trójkąta równobocznego w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
\(H^2+( \frac{2}{3}h)^2=a^2\;\;\;\;\;i\;\;\;\;h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\\H^2+( \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2})^2=a^2\\H^2+( \frac{a \sqrt{3} }{3})^2=a^2\\H^2 + \frac{3a^2}{9}=a^2\\H^2+ \frac{a^2}{3}=a^2\\H^2= \frac{2}{3}a^2\\3H^2=2a^2\)
b)
\(H=a-1\\3(a-1)^2=2a^2\\3(a^2-2a+1)=2a^2\\a^2-6a+3=0\\\Delta=36-12=24=4 \cdot 6\\ \sqrt{\Delta}=2 \sqrt{6}\\a= \frac{6+2 \sqrt{6} }{2}=3+ \sqrt{6}\)
Drugie a będzie mniejsze od 1,więc odrzucasz.
Spodek wysokości czworościanu dzieli h trójkąta równobocznego w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
\(H^2+( \frac{2}{3}h)^2=a^2\;\;\;\;\;i\;\;\;\;h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\\H^2+( \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2})^2=a^2\\H^2+( \frac{a \sqrt{3} }{3})^2=a^2\\H^2 + \frac{3a^2}{9}=a^2\\H^2+ \frac{a^2}{3}=a^2\\H^2= \frac{2}{3}a^2\\3H^2=2a^2\)
b)
\(H=a-1\\3(a-1)^2=2a^2\\3(a^2-2a+1)=2a^2\\a^2-6a+3=0\\\Delta=36-12=24=4 \cdot 6\\ \sqrt{\Delta}=2 \sqrt{6}\\a= \frac{6+2 \sqrt{6} }{2}=3+ \sqrt{6}\)
Drugie a będzie mniejsze od 1,więc odrzucasz.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.