ostrosłup

[kate84]

Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość a.Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem. Pole jednej ściany bocznej wynosi P i jest dwa razy mniejsze od pola podstawy. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy i odległość spodka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.

[radagast]

\(P\)- pole ściany bocznej
\(2P\)- pole podstawy
\(\frac{2P}{4}\)- pole rzutu ściany bocznej na płaszczyznę podstawy


\(\frac{\frac{2P}{4}}{P}= \frac{1}{2} =\cos \alpha \So \alpha =60^o\)

[kate84]

a ile bedzie wynosic odległość spodka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.?

[radagast]

Jakoś mi nie chce wyjść

[kate84]

prosze o pomoc:(

[irena]

h- wysokość ściany bocznej
p- wysokość rombu podstawy (równa średnicy okręgu wpisanego w romb)

Jeśli wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy pod tym samym kątem, to wysokości ścian bocznych są równe i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w romb podstawy.

\(P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ap\\p=h\)

Trójkąt utworzony przez wysokości dwóch przeciwległych ścian bocznych i wysokość podstawy to trójkąt równoboczny, więc ściany boczne nachylone są do podstawy pod kątem \(60^0\)

S- wierzchołek ostrosłupa
O- spodek wysokości ostrosłupa
SK- wysokość jednej ze ścian bocznych ostrosłupa

Trójkąt SOK to trójkąt prostokątny, w którym
\(|\angle SKO|=60^0\\|SK|=h\\|OK|=\frac{1}{2}p=\frac{1}{2}h\\|SO|=\frac{h\sqrt{3}}{2}\)

Z pola ściany bocznej:
\(P=\frac{1}{2}ah\\h=\frac{2P}{a}\)

\(|SO|=\frac{P\sqrt{3}}{a}\\|OK|=\frac{P}{a}\\|SK|=\frac{2P}{a}\)

Poprowadź wysokość OP trójkąta SKO na przeciwprostokątną SK.
|OP|=d - szukana odległość spodka wysokości od ściany bocznej
Z pola trójkąta SKO:
\(\frac{1}{2}\cdot\frac{P}{a}\cdot\frac{P\sqrt{3}}{a}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2P}{a}\cdot d\\d=\frac{P\sqrt{3}}{2a}\)