ośmiościan wpisany w czworościan
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ośmiościan wpisany w czworościan
Łącząc odpowiednio środki krawędzi czworościanu foremnego otrzymamy ośmiościan foremny. Krawędź czworościanu ma długosc a. Oblicz objętośc ośmiościanu i porównaj ją z objętością czworościanu.
Krawędź ośmiościanu łączy środki sąsiednich krawędzi czworościanu. Jest to odcinek łączący środki boków trójkąta równobocznego. Ma więc długość równą połowie boku trójkąta (twierdzenie Talesa).
Wysokość czworościanu: H, tworzy trójkąt prostokątny z krawędzią czworościanu (a) i promieniem okręgu opisanego na podstawie (\(\frac{a\sqrt{3}}{3}\)) trójkąt prostokątny.
\(H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=a^2\\H^2=\frac{6}{9}a^2\\H=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Objętość czworościanu:
\(V_c=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{6}}{3}\\V_c=\frac{3a^2\sqrt{2}}{36}=\frac{a^2\sqrt{2}}{12}\)
Wysokość ośmiościanu:h, tworzy z krawędzią ośmiościanu i promieniem okręgu opisanego na podstawie (połowa przekątnej kwadratu o boku \(\frac{a}{2}\), czyli odcinkiem \(\frac{a\sqrt{2}}{4}\)) trójkąt prostokątny.
\(h^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2=(\frac{a}{2})^2\\h^2=\frac{a^2}{4}-\frac{2}{16}a^2\\h^2=\frac{2}{16}a^2\\h=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Objetość ośmiościanu:
\(V_o=2\cdot\frac{1}{3}\cdot(\frac{a}{2})^2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}\\V_o=\frac{2}{3}\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{24}\)
\(\frac{V_o}{V_c}=\frac{1}{2}\)
Objętość ośmiościanu jest równa połowie objętości czworościanu.
Wysokość czworościanu: H, tworzy trójkąt prostokątny z krawędzią czworościanu (a) i promieniem okręgu opisanego na podstawie (\(\frac{a\sqrt{3}}{3}\)) trójkąt prostokątny.
\(H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=a^2\\H^2=\frac{6}{9}a^2\\H=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Objętość czworościanu:
\(V_c=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{6}}{3}\\V_c=\frac{3a^2\sqrt{2}}{36}=\frac{a^2\sqrt{2}}{12}\)
Wysokość ośmiościanu:h, tworzy z krawędzią ośmiościanu i promieniem okręgu opisanego na podstawie (połowa przekątnej kwadratu o boku \(\frac{a}{2}\), czyli odcinkiem \(\frac{a\sqrt{2}}{4}\)) trójkąt prostokątny.
\(h^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2=(\frac{a}{2})^2\\h^2=\frac{a^2}{4}-\frac{2}{16}a^2\\h^2=\frac{2}{16}a^2\\h=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Objetość ośmiościanu:
\(V_o=2\cdot\frac{1}{3}\cdot(\frac{a}{2})^2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}\\V_o=\frac{2}{3}\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{24}\)
\(\frac{V_o}{V_c}=\frac{1}{2}\)
Objętość ośmiościanu jest równa połowie objętości czworościanu.