ośmiościan wpisany w czworościan

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kanapa21
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 18 lut 2010, 14:42

ośmiościan wpisany w czworościan

Post autor: kanapa21 » 02 mar 2010, 15:51

Łącząc odpowiednio środki krawędzi czworościanu foremnego otrzymamy ośmiościan foremny. Krawędź czworościanu ma długosc a. Oblicz objętośc ośmiościanu i porównaj ją z objętością czworościanu.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 02 mar 2010, 16:55

Krawędź ośmiościanu łączy środki sąsiednich krawędzi czworościanu. Jest to odcinek łączący środki boków trójkąta równobocznego. Ma więc długość równą połowie boku trójkąta (twierdzenie Talesa).

Wysokość czworościanu: H, tworzy trójkąt prostokątny z krawędzią czworościanu (a) i promieniem okręgu opisanego na podstawie (\(\frac{a\sqrt{3}}{3}\)) trójkąt prostokątny.

\(H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=a^2\\H^2=\frac{6}{9}a^2\\H=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Objętość czworościanu:
\(V_c=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{6}}{3}\\V_c=\frac{3a^2\sqrt{2}}{36}=\frac{a^2\sqrt{2}}{12}\)


Wysokość ośmiościanu:h, tworzy z krawędzią ośmiościanu i promieniem okręgu opisanego na podstawie (połowa przekątnej kwadratu o boku \(\frac{a}{2}\), czyli odcinkiem \(\frac{a\sqrt{2}}{4}\)) trójkąt prostokątny.

\(h^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2=(\frac{a}{2})^2\\h^2=\frac{a^2}{4}-\frac{2}{16}a^2\\h^2=\frac{2}{16}a^2\\h=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

Objetość ośmiościanu:
\(V_o=2\cdot\frac{1}{3}\cdot(\frac{a}{2})^2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}\\V_o=\frac{2}{3}\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{24}\)

\(\frac{V_o}{V_c}=\frac{1}{2}\)

Objętość ośmiościanu jest równa połowie objętości czworościanu.

kanapa21
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 18 lut 2010, 14:42

Post autor: kanapa21 » 02 mar 2010, 18:09

dzieki