ZBIÓR OSTROSŁUPÓW

[lemon1617]

rozważmy zbiór ostrosłupów prawidłowych czworokątnych, których przekrój o polu P i obwodzie 40, zawiera przekątną podstawy i wycokość ostrosłupa. Znajdź wsród tych ostrosłupów ten, dla którego P jest największe i oblicz jego objętość.

[radagast]

ScreenHunter_1180.jpg (12 KiB) Przejrzano 2099 razy

\(l^2= \frac{a^2}{2}+H^2 \So l= \sqrt{H^2+ \frac{a^2}{2} }\)
\(2l+a \sqrt{2} =40 \So 2 \sqrt{H^2+ \frac{a^2}{2}} +a \sqrt{2} =40 \So H=2 \sqrt{100-5 a\sqrt{2} }\)

\(P(a,H)= \frac{a \sqrt{2} H}{2}\)
\(P(a)= a \sqrt{2} \cdot \sqrt{100-5 a\sqrt{2} }\)
\(P'(a)= \sqrt{2} \cdot \sqrt{100-5 a\sqrt{2} }-a \sqrt{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2} }{2\sqrt{100-5 a\sqrt{2} }}=\)
\(P'(a)= \frac{2\sqrt{2} \cdot (100-5 a\sqrt{2} )-10a }{2\sqrt{100-5 a\sqrt{2} }}\)
\(P'(a)= \frac{200 \sqrt{2}-30a }{2\sqrt{100-5 a\sqrt{2} }}\)
\(P'(a)=0 \iff a= \frac{20}{3} \sqrt{2}\)
\(P'(a)>0 \iff a< \frac{20}{3} \sqrt{2}\)
\(P'(a)<0 \iff a> \frac{20}{3} \sqrt{2}\)
zatem dla \(a= \frac{20}{3} \sqrt{2}\) pole P jest największe