Pole przekroju czworościanu foremnego

[Andriejjjj]

Witam,

bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania, bo zupełnie nie wiem, jak to zrobić.

Dany jest czworościan foremny ABCD o krawędzi długości \(a\). Oblicz pole przekroju tego czworościanu płaszczyzną ABM, gdzie \(M \in CD\) oraz \(|DM| : |MC| = 3:2\).

Z góry bardzo dziękuję!

[radagast]

ScreenHunter_1153.jpg (10.9 KiB) Przejrzano 5626 razy

1) z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ACM wyznacz AM
2) z twierdzenia Pitagorasa wyznacz h
3) policz pole przekroju.

[Galen]

Oznaczenia zgodnie z treścią zadania:
\(|AB|=|BC|=|AC|=|AD|=|BD|=|CD|=a\\|AM|= \frac{2}{5}a\\|DM|= \frac{3}{5}a\)
Oblicz długość \(x=|BM|\)
z tw.cosinusów w trójkącie BCM
\(x^2=a^2+( \frac{2}{5}a)^2-2 \cdot a \cdot \frac{2}{5}a \cdot cos60^o\\x^2=a^2+ \frac{4}{25}a^2- \frac{2}{5}a^2= \frac{3a^2}{5}+ \frac{4}{25}a^2 = \frac{19}{25}a^2\)
Przekrój ABM jest trójkątem równoramiennym o ramionach x i podstawie a.
Wysokość h tego przekroju masz z tw.Pitagorasa
\(h^2+( \frac{a}{2})^2=x^2\\h^2=x^2- \frac{a^2}{4}= \frac{19}{25}a^2- \frac{1}{4}a^2= \frac{76-25}{100}a^2= \frac{51}{100}a^2\\h= \frac{ \sqrt{51} }{10}a\)
Pole przekroju ABM
\(P= \frac{1}{2}a \cdot h= \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{51}a^2 }{10}= \frac{a^2 \sqrt{51} }{20}\)

[Andriejjjj]

Dziękuję bardzo