trapez równoramienny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
trapez równoramienny
dłuższa podstawa trapezu równoramiennego ma długość a , krótsza - długość b, a kąt ostry ma miarę \(\alpha\) . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej przez obrót tego trapezu wokół krótszej podstawy.
-
marcin77
- Stały bywalec
- Posty: 387
- Rejestracja: 12 gru 2009, 14:45
- Lokalizacja: gdzieś nad Bałtykiem
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 36 razy
Powstała bryła to walec z którego podstaw wycięto dwa stożki.
a - dłuższa podstawa trapezu/wysokość walca
b - krótsza podstawa trapezu
c - ramię trapezu/tworząca stożka (l)
h - wysokość trapezu = r - promień podstawy stożka/walca
\(\frac{a-b}{2}\)-wysokość stożka
\(\alpha\) kąt zawarty pomiędzy a i c
indeks w - dotyczy walca
indeks s - dotyczy stożka
indeks b - boczne
\(V_x=V_w-2V_s
P_x=P_b_w+2P_b_s\)
obliczamy h=r
\(tg \alpha = \frac{h}{ \frac{a-b}{2} }= \frac{2h}{a-b} \Rightarrow h= \frac{tg \alpha (a-b)}{2}=r
V_w= \pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2a
V_s= \frac{1}{3} \pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2\frac{(a-b)}{2}
V_x=\pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2a-2\frac{1}{3} \pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2\frac{(a-b)}{2}= \frac{ \pi tg^2 \alpha (a-b)^2}{4}(a- \frac{(a-b)}{3})=\frac{ \pi tg^2 \alpha (a-b)^2}{4}( \frac{2a+b}{3})=
\frac{ \pi tg^2 \alpha (a-b)^2(2a+b)}{12}\)
obliczamy c=l
\(cos \alpha = \frac{ \frac{a-b}{2} }{c} = \frac{a-b}{2c} \Rightarrow c= \frac{a-b}{2cos \alpha }=l
P_b_w= 2\pi \frac{tg \alpha (a-b)}{2}a= \pi atg \alpha(a-b)
P_b_s= \pi \frac{tg \alpha (a-b)}{2}(\frac{a-b}{2cos \alpha })= \frac{ \pi tg \alpha (a-b)^2}{4cos \alpha }
P_x= \pi atg \alpha(a-b)+2\frac{ \pi tg \alpha (a-b)^2}{4cos \alpha }=\pi atg \alpha(a-b)+\frac{ \pi tg \alpha (a-b)^2}{2cos \alpha }= \pi tg \alpha (a-b)(a+ \frac{a-b}{2cos \alpha })\)
a - dłuższa podstawa trapezu/wysokość walca
b - krótsza podstawa trapezu
c - ramię trapezu/tworząca stożka (l)
h - wysokość trapezu = r - promień podstawy stożka/walca
\(\frac{a-b}{2}\)-wysokość stożka
\(\alpha\) kąt zawarty pomiędzy a i c
indeks w - dotyczy walca
indeks s - dotyczy stożka
indeks b - boczne
\(V_x=V_w-2V_s
P_x=P_b_w+2P_b_s\)
obliczamy h=r
\(tg \alpha = \frac{h}{ \frac{a-b}{2} }= \frac{2h}{a-b} \Rightarrow h= \frac{tg \alpha (a-b)}{2}=r
V_w= \pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2a
V_s= \frac{1}{3} \pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2\frac{(a-b)}{2}
V_x=\pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2a-2\frac{1}{3} \pi ( \frac{tg \alpha (a-b)}{2})^2\frac{(a-b)}{2}= \frac{ \pi tg^2 \alpha (a-b)^2}{4}(a- \frac{(a-b)}{3})=\frac{ \pi tg^2 \alpha (a-b)^2}{4}( \frac{2a+b}{3})=
\frac{ \pi tg^2 \alpha (a-b)^2(2a+b)}{12}\)
obliczamy c=l
\(cos \alpha = \frac{ \frac{a-b}{2} }{c} = \frac{a-b}{2c} \Rightarrow c= \frac{a-b}{2cos \alpha }=l
P_b_w= 2\pi \frac{tg \alpha (a-b)}{2}a= \pi atg \alpha(a-b)
P_b_s= \pi \frac{tg \alpha (a-b)}{2}(\frac{a-b}{2cos \alpha })= \frac{ \pi tg \alpha (a-b)^2}{4cos \alpha }
P_x= \pi atg \alpha(a-b)+2\frac{ \pi tg \alpha (a-b)^2}{4cos \alpha }=\pi atg \alpha(a-b)+\frac{ \pi tg \alpha (a-b)^2}{2cos \alpha }= \pi tg \alpha (a-b)(a+ \frac{a-b}{2cos \alpha })\)