Bryła obrotowa powstała z trójkata

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kanapa21
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 18 lut 2010, 14:42

Bryła obrotowa powstała z trójkata

Post autor: kanapa21 » 01 mar 2010, 16:37

Miary kątów trójkąta wynoszą \(\frac{ \pi }{12}, \frac{ \pi }{6}, \frac{3 \pi }{4}\),a długość najkrótszego boku tego trójkąta jest równa 6cm. Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót trójkąta wokół najkrótszego boku.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 01 mar 2010, 20:30

Nazwałam ten trójkąt ABC, gdzie |AC|=6cm, AC jest bokiem najdłuższym. CD to wysokość trójkąta (spada poza trójkątem).
W wyniku tego obrotu otrzymujemy stożek o promieniu r=|CD| i wysokości |AD|=6+r z wyciętym stożkiem o tym samym promieniu i wysokości r.
\(| \angle DBC|=\pi-\frac{3}{4}\pi=\frac{\pi}{4}\)

\(\frac{r}{r+6}=tg\frac{\pi}{6}\\\frac{r}{r+6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\3r=r\sqrt{3}+6\sqrt{3}\\r(3-\sqrt{3})=6\sqrt{3}\\r=\frac{6\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\cdot\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\r=3\sqrt{3}+3\)

\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2(6+r)-\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot\ r=\\=\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot6\\V=2\pi(3\sqrt{3}+3)^2\\V=2\pi(27+18\sqrt{3}+9)=2\pi(36+18\sqrt{3})\V=36\pi(2+\sqrt{3})cm^3\)