Bryła obrotowa powstała z trójkata
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Bryła obrotowa powstała z trójkata
Miary kątów trójkąta wynoszą \(\frac{ \pi }{12}, \frac{ \pi }{6}, \frac{3 \pi }{4}\),a długość najkrótszego boku tego trójkąta jest równa 6cm. Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót trójkąta wokół najkrótszego boku.
Nazwałam ten trójkąt ABC, gdzie |AC|=6cm, AC jest bokiem najdłuższym. CD to wysokość trójkąta (spada poza trójkątem).
W wyniku tego obrotu otrzymujemy stożek o promieniu r=|CD| i wysokości |AD|=6+r z wyciętym stożkiem o tym samym promieniu i wysokości r.
\(| \angle DBC|=\pi-\frac{3}{4}\pi=\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{r}{r+6}=tg\frac{\pi}{6}\\\frac{r}{r+6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\3r=r\sqrt{3}+6\sqrt{3}\\r(3-\sqrt{3})=6\sqrt{3}\\r=\frac{6\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\cdot\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\r=3\sqrt{3}+3\)
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2(6+r)-\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot\ r=\\=\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot6\\V=2\pi(3\sqrt{3}+3)^2\\V=2\pi(27+18\sqrt{3}+9)=2\pi(36+18\sqrt{3})\V=36\pi(2+\sqrt{3})cm^3\)
W wyniku tego obrotu otrzymujemy stożek o promieniu r=|CD| i wysokości |AD|=6+r z wyciętym stożkiem o tym samym promieniu i wysokości r.
\(| \angle DBC|=\pi-\frac{3}{4}\pi=\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{r}{r+6}=tg\frac{\pi}{6}\\\frac{r}{r+6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\3r=r\sqrt{3}+6\sqrt{3}\\r(3-\sqrt{3})=6\sqrt{3}\\r=\frac{6\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\cdot\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\r=3\sqrt{3}+3\)
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2(6+r)-\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot\ r=\\=\frac{1}{3}\pi\ r^2\cdot6\\V=2\pi(3\sqrt{3}+3)^2\\V=2\pi(27+18\sqrt{3}+9)=2\pi(36+18\sqrt{3})\V=36\pi(2+\sqrt{3})cm^3\)