równoległobok
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
równoległobok
Dany jest równoległobok o bokach długości \(2cm\) i \(2 + \sqrt{3}\)oraz kącie ostrym \(\frac{ \pi }{12}\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej przez obrót równoległoboku wokół dłuższego boku.
Do obliczeń będzie potrzebny \(sin(\frac{\pi}{12})\).
\(cos(\frac{\pi}{6})=1-2sin^2(\frac{\pi}{12})\\1-2sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}}{2}\\2sin^2(\frac{\pi}{12})=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\\2sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\\sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)
W wyniku obrotu tego równoległoboku otrzymujemy walec o wysokości równej \(2+\sqrt{3}\) i promieniu podstawy równym wysokości równoległoboku opuszczonej na dłuższy jego bok. Z tego walca wycięty jest stożek o takiej samej podstawie jak walec i tworzącej równej 2, a z drugiej strony dołączony taki sam stożek.
Objętość tej bryły jest więc równa objętości opisanego walca.
Pole powierzchni tej bryły jest równe polu bocznej powierzchni walca i pola powierzchni bocznych obu stożków.
Oznaczyłam r- promień podstawy walca i stożków (wysokość równoległoboku).
\(\frac{r}{2}=sin(\frac{\pi}{12})\\r=\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Objętość bryły:
\(V=\pi\ (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2\cdot(2+\sqrt{3})\\V=\pi(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\pi(4-3)=\pi\ cm^3\)
Pole powierzchni bryły:
\(P_c=2\pi\sqrt{2-\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})+2\pi\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot2\\P_c=2\pi\sqrt{2-\sqrt{3}}(4+\sqrt{3})cm^2\)
\(cos(\frac{\pi}{6})=1-2sin^2(\frac{\pi}{12})\\1-2sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}}{2}\\2sin^2(\frac{\pi}{12})=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\\2sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\\sin^2(\frac{\pi}{12})=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)
W wyniku obrotu tego równoległoboku otrzymujemy walec o wysokości równej \(2+\sqrt{3}\) i promieniu podstawy równym wysokości równoległoboku opuszczonej na dłuższy jego bok. Z tego walca wycięty jest stożek o takiej samej podstawie jak walec i tworzącej równej 2, a z drugiej strony dołączony taki sam stożek.
Objętość tej bryły jest więc równa objętości opisanego walca.
Pole powierzchni tej bryły jest równe polu bocznej powierzchni walca i pola powierzchni bocznych obu stożków.
Oznaczyłam r- promień podstawy walca i stożków (wysokość równoległoboku).
\(\frac{r}{2}=sin(\frac{\pi}{12})\\r=\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Objętość bryły:
\(V=\pi\ (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2\cdot(2+\sqrt{3})\\V=\pi(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\pi(4-3)=\pi\ cm^3\)
Pole powierzchni bryły:
\(P_c=2\pi\sqrt{2-\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})+2\pi\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot2\\P_c=2\pi\sqrt{2-\sqrt{3}}(4+\sqrt{3})cm^2\)
