Trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Trójkąt
W trójkącie ABC bok AB ma długość k, a kąty ostre do niego przyległe mają miary \(\alpha i \beta\) Trójkąt ten obraca się wokół osi równoległej do boku AB i przechodzącej przez wierzchołek C. Oblicz objętość bryły obrotowej.
W wyniku takiego obrotu otrzyma się walec, z którego wycięto dwa stożki. Wysokość walca jest równa k. Suma wysokości stożków też równa jest k. Promienie podstaw tych brył to wysokość trójkąta opuszczona na bok o długości k.
Wysokość trójkąta opisaną wyżej nazwałam r. Dzieli ona trójkąt na dwa trójkąty prostokątne- jeden z kątem [tex[\alpha[/tex], drugi z kątem \(\beta\). Odcinki, na które ta wysokość podzieliła bok AB mają długości x i k-x.
\(\frac{r}{x}=tg\alpha \Rightarrow r=x\ tg\alpha\\\frac{r}{k-x}=tg\beta \Rightarrow r=(k-x)tg\beta\\x\ tg\alpha=(k-x)tg\beta\\x=\frac{k\ tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}\\r=\frac{k\ tg\alpha\ tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}\)
Objętość walca: \(V_w=\pi\ r^2\ k\)
Suma objętości stożków:
\(V_s=\frac{1}{3}\pi\ r^2x+\frac{1}{3}\pi\ r^2(k-x)=\frac{1}{3}\pi\ r^2k\)
Objętość bryły:
\(V_b=\pi\ r^2k-\frac{1}{3}\pi\ r^2k=\frac{2}{3}\pi\ r^2k\\V_b=\frac{2}{3}\pi\cdot\frac{k^2tg^2\alpha\ tg^2\beta}{(tg\alpha+tg\beta)^2}\cdot\ k\\V_b=\frac{2}{3}\pi\ k^3\cdot\frac{tg^2\alpha\ tg^2\beta}{(tg\alpha+tg\beta)^2}\)
Wysokość trójkąta opisaną wyżej nazwałam r. Dzieli ona trójkąt na dwa trójkąty prostokątne- jeden z kątem [tex[\alpha[/tex], drugi z kątem \(\beta\). Odcinki, na które ta wysokość podzieliła bok AB mają długości x i k-x.
\(\frac{r}{x}=tg\alpha \Rightarrow r=x\ tg\alpha\\\frac{r}{k-x}=tg\beta \Rightarrow r=(k-x)tg\beta\\x\ tg\alpha=(k-x)tg\beta\\x=\frac{k\ tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}\\r=\frac{k\ tg\alpha\ tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}\)
Objętość walca: \(V_w=\pi\ r^2\ k\)
Suma objętości stożków:
\(V_s=\frac{1}{3}\pi\ r^2x+\frac{1}{3}\pi\ r^2(k-x)=\frac{1}{3}\pi\ r^2k\)
Objętość bryły:
\(V_b=\pi\ r^2k-\frac{1}{3}\pi\ r^2k=\frac{2}{3}\pi\ r^2k\\V_b=\frac{2}{3}\pi\cdot\frac{k^2tg^2\alpha\ tg^2\beta}{(tg\alpha+tg\beta)^2}\cdot\ k\\V_b=\frac{2}{3}\pi\ k^3\cdot\frac{tg^2\alpha\ tg^2\beta}{(tg\alpha+tg\beta)^2}\)