Ostrosłup, graniastosłup - objętość, pole powierzchni

[kasia96175]

1.Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8, a wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60 ^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa i jego pole powierzchni całkowitej.

2. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez o podstawach długości 2 i 9 oraz ramionach długości \(5 i 4 \sqrt{2}\). Wiedząc, że objętość tego graniastosłupa wynosi 220, oblicz długości przekątnych graniastosłupa.

[Galen]

1)
Trójkąt prostokątny ma boki 6;8 i \(c= \sqrt{6^2+8^2}=10\). Jeśli ściany boczne są nachylone do podstawy pod tym samym kątem (60 stopni),to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem O koła wpisanego w trójkąt prostokątny.
Promień r tego koła obliczysz z zależności:
\(c=a-r+b-r\\c=a+b-2r\\10=6+8-2r\\2r=4\\r=2\)
Ściany boczne ,a dokładniej,wysokości ścian bocznych tworzą kat 60 stopni z podstawą,a dokładniej z r w podstawie.
Rozważ trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość H ostrosłupa,odcinek r w podstawie i wysokość h ściany bocznej.
\(H^2+r^2=h^2\;\;\;\;\;\;i\;\;tg60^0= \frac{H}{r}\\H=r \cdot \sqrt{3}=2 \sqrt{3}\\cos60^o= \frac{r}{h}= \frac{1}{2}\\ \frac{2}{h}= \frac{1}{2}\\h=4\)
Masz Wysokość H ostrosłupa,więc policz objętość:
\(v= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8\cdot 2 \sqrt{3} =16 \sqrt{3}\)
Pole powierzchni całkowitej jest sumą pól poszczególnych trójkątów:
\(P_c= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8+ \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4+ \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4+ \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4=24+20+16+12=72\)