Sześcian, czworościan foremny- przekrój płaszczyzną

[kasia96175]

1. Sześcian \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) przecięto płaszczyzną \(AM_1N_1\) gdzie \(M_1 i N_1\) są środkami boków odpowiednio \(A_1B_1 i A_1D_1\). Udowodnij, że cosinus kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny jest równy \(\frac{1}{3}\).

2. Dany jest czworościan foremny ABCD o krawędzi długości \(a\). Oblicz pole przekroju tego czworościanu płaszczyzną ABM, gdzie \(M \in CD\) oraz \(|DM|:|MC|=3:2\)

[lambda]

1. a - krawędź sześcianu

\(AA_1M_1 - \Delta \ prostokątny \\ AM_1^2=AA_1^2+A_1M_1^2 \\ AM_1^2=a^2+( \frac{a}{2})^2= \frac{5}{4} a^2 \\ AM_1= \frac{a \sqrt{5}}{2}\)

\(P_1 - środek \ odc. \ M_1N_1 \\ P_1M_1= \frac{1}{4}B_1D_1= \frac{1}{4} \cdot \sqrt{2}a= \frac{a \sqrt{2}}{4}\)

\(AP_1M_1 - \Delta \ prostokątny \\ AP_1^2=AM_1^2-P_1M_1^2 \\ AP_1^2= ( \frac{a \sqrt{5}}{2})^2-( \frac{a \sqrt{2}}{4} )^2= \frac{18a^2}{16} \\ AP_1= \frac{3 \sqrt{2}a}{4}\)

AC =\(a \sqrt{2} \\ AP = \frac{1}{4} AC= \frac{a \sqrt{2}}{4} \\ APP_1- \Delta \ prostokątny \\ cos \alpha = \frac{AP}{AP_1} \\ cos \alpha= \frac{ \frac{a \sqrt{2}}{4} }{ \frac{3a \sqrt{2}}{4} } \\ cos \alpha= \frac{1}{3}\)

[tylkojedynka]

2. Dany jest czworościan foremny ABCD o krawędzi długości \(a\). Oblicz pole przekroju tego czworościanu płaszczyzną ABM, gdzie \(M \in CD\) oraz \(|DM|:|MC|=3:2\)

ostos.png (15.87 KiB) Przejrzano 1791 razy