Trójkąt o bokach....
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Trójkąt o bokach....
Trójkąt o bokach 4cm, 6cm, 8cm obraca się dookoła prostej zawierającej najdłuższy bok. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość wyznaczonej w ten sposób bryły.
W wyniku tego obrotu otrzymujemy dwa stożki złączone podstawami. Suma ich wysokości wynosi 8cm. Tworzące tych stożków mają 4cm i 6cm. Promień podstawy tych stożków to wysokość danego trójkąta opuszczona na bok 8cm.
r- promień podstawy stożków (wysokość trójkąta obracanego)
x- wysokość stożka o tworzącej 4cm
8-x- wysokość stożka o tworzącej 6cm
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(x^2+r^2=4^2 \Rightarrow r^2=16-x^2\\r^2+(8-x)^2=6^2 \Rightarrow r^2=36-(8-x)^2\\16-x^2=36-64+16x-x^2\\16x=44\\x=\frac{11}{4}cm\\r^2=16-(\frac{11}{4})^2\\r^2=\frac{135}{16}\\r=\frac{3\sqrt{15}}{4}cm\)
Powierzchnia tej bryły to powierzchnie boczne obu stożków:
\(P_c=\pi\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot4+\pi\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot6=\frac{15\sqrt{15}}{2}\pi\ cm^2\)
Objętość tej bryły to suma objętości obu stożków:
\(V=\pi\cdot(\frac{3\sqrt{15}}{4})^2\cdot\frac{11}{4}+\pi\cdot(\frac{3\sqrt{15}}{4})^2\cdot(8-\frac{11}{4})=\\=\pi\cdot(\frac{3\sqrt{15}}{4})^2\cdot8=\frac{135}{2}\pi\ cm^3\)
r- promień podstawy stożków (wysokość trójkąta obracanego)
x- wysokość stożka o tworzącej 4cm
8-x- wysokość stożka o tworzącej 6cm
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(x^2+r^2=4^2 \Rightarrow r^2=16-x^2\\r^2+(8-x)^2=6^2 \Rightarrow r^2=36-(8-x)^2\\16-x^2=36-64+16x-x^2\\16x=44\\x=\frac{11}{4}cm\\r^2=16-(\frac{11}{4})^2\\r^2=\frac{135}{16}\\r=\frac{3\sqrt{15}}{4}cm\)
Powierzchnia tej bryły to powierzchnie boczne obu stożków:
\(P_c=\pi\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot4+\pi\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot6=\frac{15\sqrt{15}}{2}\pi\ cm^2\)
Objętość tej bryły to suma objętości obu stożków:
\(V=\pi\cdot(\frac{3\sqrt{15}}{4})^2\cdot\frac{11}{4}+\pi\cdot(\frac{3\sqrt{15}}{4})^2\cdot(8-\frac{11}{4})=\\=\pi\cdot(\frac{3\sqrt{15}}{4})^2\cdot8=\frac{135}{2}\pi\ cm^3\)