Kula i ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kula i ostrosłup
1.Na kuli o promieniu R opisano ostrosłup prawidłowy czworokątny o najmniejszej objętości. Wyznacz długość jego wysokości.
Naszkicuj ostrosłup ABCDS, gdzie ABCD to postawa ostrosłupa.
Naszkicuj wysokość SP tego ostrosłupa (P- spodek wysokości).
Zaznacz punkt K- środek krawędzi podstawy BC.
Naszkicuj trójkąt prostokątny PKS (P to wierzchołek kąta prostego).
Na przyprostokątnej zaznacz punkt O (O to środek kuli wpisanej w ten ostrosłup) i poprowadź odcinek OT prostopadły do przeciwprostokątnej KS (T leży na KS).
Odcinki OP i OT są równe (to promienie kuli wpisanej w ostrosłup).
|OP|=|OT|=R.
Wprowadź oznaczenia:
a- krawędź podstawy ostrosłupa (PK to połowa a)
H- wysokość ostrosłupa (|SP|=H)
h- wysokość ściany bocznej ostrosłupa (|SK|=h)
Odcinki PK i TK to odcinki stycznych, więc są równe
\(h^2=H^2+(\frac{a}{2})^2\\H^2+\frac{a^2}{4}=h^2\\4h^2=a^2+4H^2\)
\(|PK|=|TK|=\frac{a}{2}\\|OS|=H-R\\|OT|=R\)
Trójkąty prostokątne OTS i PKS są podobne.
Z tego podobieństwa:
\(\frac{|OT|}{|OS|}=\frac{|PK|}{|KS|}\\\frac{R}{H-R}=\frac{\frac{a}{2}}{h}\\\frac{R}{H-R}=\frac{a}{2h}\\\frac{R^2}{H^2-2RH+R^2}=\frac{a^2}{4h^2}\\\frac{R^2}{H^2-2RH+R^2}=\frac{a^2}{a^2+4H^2}\\R^2a^2+4R^2H^2=a^2H^2-2RHa^2+R^2a^2\\a^2(H^2-2RH)=4R^2H^2\\a^2=\frac{4R^2H^2}{H^2-2RH}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{4R^2H^2}{H^2-2RH}\cdot H\)
\(V=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{H^3}{H^2-2RH}\\H>2R\)
\(V'=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{3H^2(H^2-2RH)-H^3(2H-2R)}{(H^2-2RH)^2}=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{3H^4-6RH^3-2H^4+2RH^3}{(H^2-2RH)^2}\\V'(H)=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{H^4-4RH^3}{(H^2-2RH)^2}\\V'(H)=0\\H^4-4RH^3=0\\H^3(H-4R)=0\\H>0\\H=4R\)
Dla H>4R wartość pochodnej jest dodatnia, dla 2R<H<4R pochodna ma warość ujemną, czyli dla H=4R objętość ostrosłupa jest najmniejsza.
Naszkicuj wysokość SP tego ostrosłupa (P- spodek wysokości).
Zaznacz punkt K- środek krawędzi podstawy BC.
Naszkicuj trójkąt prostokątny PKS (P to wierzchołek kąta prostego).
Na przyprostokątnej zaznacz punkt O (O to środek kuli wpisanej w ten ostrosłup) i poprowadź odcinek OT prostopadły do przeciwprostokątnej KS (T leży na KS).
Odcinki OP i OT są równe (to promienie kuli wpisanej w ostrosłup).
|OP|=|OT|=R.
Wprowadź oznaczenia:
a- krawędź podstawy ostrosłupa (PK to połowa a)
H- wysokość ostrosłupa (|SP|=H)
h- wysokość ściany bocznej ostrosłupa (|SK|=h)
Odcinki PK i TK to odcinki stycznych, więc są równe
\(h^2=H^2+(\frac{a}{2})^2\\H^2+\frac{a^2}{4}=h^2\\4h^2=a^2+4H^2\)
\(|PK|=|TK|=\frac{a}{2}\\|OS|=H-R\\|OT|=R\)
Trójkąty prostokątne OTS i PKS są podobne.
Z tego podobieństwa:
\(\frac{|OT|}{|OS|}=\frac{|PK|}{|KS|}\\\frac{R}{H-R}=\frac{\frac{a}{2}}{h}\\\frac{R}{H-R}=\frac{a}{2h}\\\frac{R^2}{H^2-2RH+R^2}=\frac{a^2}{4h^2}\\\frac{R^2}{H^2-2RH+R^2}=\frac{a^2}{a^2+4H^2}\\R^2a^2+4R^2H^2=a^2H^2-2RHa^2+R^2a^2\\a^2(H^2-2RH)=4R^2H^2\\a^2=\frac{4R^2H^2}{H^2-2RH}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{4R^2H^2}{H^2-2RH}\cdot H\)
\(V=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{H^3}{H^2-2RH}\\H>2R\)
\(V'=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{3H^2(H^2-2RH)-H^3(2H-2R)}{(H^2-2RH)^2}=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{3H^4-6RH^3-2H^4+2RH^3}{(H^2-2RH)^2}\\V'(H)=\frac{4R^2}{3}\cdot\frac{H^4-4RH^3}{(H^2-2RH)^2}\\V'(H)=0\\H^4-4RH^3=0\\H^3(H-4R)=0\\H>0\\H=4R\)
Dla H>4R wartość pochodnej jest dodatnia, dla 2R<H<4R pochodna ma warość ujemną, czyli dla H=4R objętość ostrosłupa jest najmniejsza.
-
tylkojedynka
- Stały bywalec
- Posty: 462
- Rejestracja: 31 sty 2011, 23:03
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 203 razy
- Płeć:
Ja się nie mogę nauczyć wklejania rysunków. Dlatego je opisuję. 