kula

[kate84]

W kulę wpisano stożek. Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wynosi \(\frac{3}{16}\). Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli. Rozwiaż dwa przypadki.

[irena]

R- promień kuli
r- promień podstawy stożka

\(\frac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\frac{3}{16}\\r^2=\frac{3}{4}R^2\\r=\frac{\sqrt{3}}{2}R\)

Narysuj okrąg o środku O i promieniu R, a w nim cięciwę AB o długości 2r.
K- środek cięciwy AB

W trójkącie prostokątnym KOB:
\(|KO|^2=R^2-\frac{3}{4}R^2=\frac{1}{4}R^2\\|OK|=\frac{1}{2}R\)

Poprowadź średnicę LM przez punkt K.Narysuj trójkąty ABM oraz ABL.

Cały rysunek to przekrój osiowy kuli o środku O oraz:
- stożka o średnicy podstawy AB i wysokości KM wpisanego w kulę
- stożka o średnicy podstawy AB i wysokości KL wpisanego w kulę.

Wysokość stożka o wierzchołku M:
\(H_M=\frac{1}{2}R\)

Wysokość stożka o wierzchołku L:
\(H_L=\frac{3}{2}R\)

Objętości:

- kuli;
\(V_k=\frac{4}{3}\pi R^3\)

- stożka o wierzchołku M:
\(V_1=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{3}{4}R^2\cdot\frac{1}{2}R=\frac{1}{8}\pi R^3\)

- stożka o wierzchołku L:
\(V_2=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{3}{4}R^2\cdot\frac{3}{2}R=\frac{3}{8}\pi R^3\)

Szukane stosunki objętości:
\(\frac{V_1}{V_k}=\frac{\frac{1}{8}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3}{32}\)

\(\frac{V_2}{V_k}=\frac{\frac{3}{8}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{9}{32}\)