szescian

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

szescian

Post autor: kate84 »

Dany jest sześcian o krawędzi a. Środki jego ścian łączymy kolejno odcinkami. Środki otrzymanego ośmiościanu znowu łączymy odcinkami itd. Oblicz sumę objętości wszystkich otrzymanych w ten sposób sześcianów.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Odcinek łączący przeciwległe wierzchołki ośmiościanu ma długość a.
Krawędzie takiego ośmiościanu mają długość równą \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
h- wysokość ściany bocznej

\(h=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\)

A, B, C, D- środki ścian bocznych sześcianu
P, S- środki podstaw sześcianu
K- środek krawędzi AB
L- środek krawędzi CD ośmiościanu

Mamy równoramienny trójkąt KLP, w którym:
\(|KP|=|KL|=\frac{a\sqrt{6}}{4}\\|KL|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

R- środek podstawy KL

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta PRL:
\(|PR|^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2=(\frac{a\sqrt{6}}{4})^2\\|PR|^2=\frac{6}{16}a^2-\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{4}a^2\\|PR|=\frac{a}{2}\)

Zaznacz teraz punkty:
T, W na boku KL
Q na boku LP
Z na boku KP
tak, że czworokąt TWQZ jest prostokątem oraz:

\(|TZ|=|QW|=x\\|TR|=|RW|=x\sqrt{2}\)

Y- punkt przecięcia wysokości PR z bokiem prostokąta QZ

Trójkąty KRP i ZYP są podobne

\(|RY|=x\\|PY|=\frac{1}{2}a-x\\|ZY|=x\sqrt{2}\\|KR|=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

Z podobieństwa trójkątów;
\(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}a}=\frac{x\sqrt{2}}{\frac{1}{2}a-x}\\\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{\frac{1}{2}a-x}\\\frac{2x}{a-2x}=\frac{1}{2}\\4x=a-2x\\6x=a\\2x=\frac{1}{3}a\)

Odcinek o długości 2x to krawędź drugiego z sześcianów

\(V_1=a^3\\V_2=(2x)^3=(\frac{1}{3}a)^3=\frac{1}{27}a^3\)

Mamy nieskończony ciąg geometryczny \((b_n)\), w którym:
\(b_1=a^3\\q=\frac{1}{27}\)

Suma tego ciągu:
\(S=\frac{a^3}{1-\frac{1}{27}}=\frac{a^3}{\frac{26}{27}}=\frac{27}{26}a^3\)
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: kate84 »

hmmm no dziekuje, ale wynik musze sprawdzic bo w odp jest \(\frac{27a^3}{26}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Czyli muszę sprawdzić, gdzie się pomyliłam
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Już masz. Obliczenia były o wiele prostsze. :)

Odcinek QZ to przekątna ściany sześcianu. a odcinek TZ to połowa jego krawędzi.
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: kate84 »

DZIEKUJE CI BARDZO :)
ODPOWIEDZ