Witam, mam problem z rozwiązaniem kilka zadań, proszę o pomoc
1. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego opisanego na tej kuli, jeśli przekrój ostrosłupa zawierający dwie jego krawędzie boczne jest trójkątem prostokątnym.
2. Wyznacz objętość kuli wpisanej w czworościan foremny o krawędzi a.
3. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a, a krawędź boczna 2a. Wyznacz pormień kuli wpisanej w ten ostrosłup.
4. Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejszego od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do jego podstawy.
1)
Trójkąt będący przekrojem przekątnym ostrosłupa jest prostokątny o przyprostokątnych b=AS=CS.
Oznaczam podstawę ostrosłupa ABCD i jest to kwadrat o boku a.
Krawędzie boczne AS,BS,CS ,DS mają długość b.
Kąt nachylenia krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy ma 45 stopni,bo przekrój jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. \(|AC|=a \sqrt{2}\) \(tg45^o= \frac{H}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } = \frac{2H}{a \sqrt{2} }=1\\H= \frac{a \sqrt{2} }{2}\)
Objętość ostrosłupa: \(V= \frac{1}{3}a^2 H= \frac{1}{3}a^2 \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2}= \frac{ \sqrt{2} }{6}a^3\)
Objętość kuli wpisanej wyraża wzór: \(V_k= \frac{4}{3}\pi r^3\)
Stosunek objętości: \(\frac{V_k}{V_o}= \frac{ \frac{4}{3}\pi r^3}{ \frac{ \sqrt{2} }{6} a^3}= \frac{8\pi}{ \sqrt{2} }( \frac{r}{a})^3=4\pi \sqrt{2} \cdot ( \frac{r}{a})^3\)
Zauważ,że ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku a.
Wysokość h ściany bocznej \(h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\)
Rozważ przekrój przez wysokości przeciwległych ścian bocznych.Nazywam go EFS:E--to środek AD .F--to środek BC \(|EF|=a\)
SM=H i M jest środkiem EF (środek podstawy ostrosłupa).
Punkt O niech będzie środkiem koła wpisanego w EFS,jest to również środek kuli wpisanej w ostrosłup.
Punkt styczności okręgu z bokiem ES nazywam P \(|OP|=r\\ \angle SPO=90^o\\ \Delta EMS\;podobny\;\; \Delta OPS\) \(\frac{PO}{OS}= \frac{EM}{ES}\\
czyli\\
\frac{r}{H-r}= \frac{ \frac{a}{2} }{ \frac{a \sqrt{3} }{2} }\)
Stąd policzysz stosunek \(\frac{r}{a}\) i wstawisz do wzoru na stosunek objętości .
