Optymalizacja pola powierzchni walca

[poetaopole]

Wśród wszystkich walców, których przekrój osiowy jest prostokątem o przekątnej długości 10 cm, znajduje się walec, którego pole powierzchni bocznej jest największe. Oblicz objętość tego walca.

[Binio1]

Wśród wszystkich walców, których przekrój osiowy jest prostokątem o przekątnej długości 10 cm, znajduje się walec, którego pole powierzchni bocznej jest największe. Oblicz objętość tego walca.

\(P_{p} = 2\pi r H\)

\(H^2+(2r)^2 = 10^2\)
\(4r^2 = 100-H^2\)
\(r = \sqrt{\frac{100-H^2}{4}}\)

\(f(H) = 2\pi \sqrt{\frac{100-H^2}{4}} H\)
\(f'(H) = -\frac{2\pi(H^2-50)}{\sqrt{100-H^2}}\)

\(f'(H) = 0\)
\(2\pi(H^2-50) = 0\)
\(H = \sqrt{50}\) lub \(H = -\sqrt{50}\)

Dla \(H = \sqrt{50}\) otrzymamy walec o najwiekszym polu powierzchni bocznej

\(\sqrt{50}^2 + (2r)^2 = 10^2\)
\(4r^2 = 100 - 50\)
\(r^2 = \frac{50}{4}\)
\(r = \frac{\sqrt{50}}{2}\) lub \(r = -\frac{\sqrt{50}}{2}\)


Objetosc
\(V = \pi r^2 \cdot H = \pi (\frac{\sqrt{50}}{2})^2 \cdot \sqrt{50} = \frac{50\sqrt{50}}{4}\pi\)

Odpowiedź: \(\frac{125\sqrt{2}}{2}\pi\)